Fallings und Wuslholz, Einbellungen kommulaliver algebraischer Gruppen 191

Dann betten die 2 • 3" Funktionen 9^, F^ die zu i = (Ai,..., AJ gehörende Erweiterung Gx in den P^ ab mit iV = 2-3''-l. Die Exponentialabbildung wird gegeben durch

( z , 0 - - - - - . ( . . . , S „ . . . , F „ . . . ) .

Das nächste Beispiel betrifft Erweiterungen von elliptischen Kurven durch G^. Sie tauchen in [Wül] auf.

Beispiel 3. Wiederum sei E eine elliptische Kurve mit den üblichen gen. Wir setzen

E { w , z ) = ^{aw)2-waz))-

Dies ist eine schiefsymmetrische Form auf AxA mit ganzzahligen Werten, falls wir für œeA definieren

С ( ш ) = С(2 4-ш)-С(^), zeC\A.

Zu den Elementen w^,..., w„ aus £'^Pic°(£')^Ext^(£', G^) gehören die Automorphie- faktoren

Man bildet für O^/r^«, 1 ^ Vi< •••< v^^« und z = (zi,..., z„) die Funktionen

G , ^ , ,,^Z,z) = â,(z)(7(z-K^+...+Mj)^<^^"v.)+ ^C(uv.))z + zv,-f +ZV.

für / = 1,2,3. Diese betten dann die zu Mi,...,w„ gehörende Erweiterung G von E durch d in den P^ ein mit iV= 3 • 2" -1.

V . Algebraische Differentiale erster, zweiter und dritter Art

In diesem Kapitel sei к ein Körper der Charakteristik Null und X/k eine projektive glatte Varietät. Hierauf existiert der Komplex

^x' ( ^x - - - - ^ ßi----^ ßx----^ •••

der Garben holomorpher Differentiale. Wir definieren den Komplex Жх als

jG : ^x----->Q]c-^dJ(x----->Ql-----►••• •

Hier ist Jix die Garbe der Keime meromorpher Funktionen, und es gilt

Q'x c^ Жх-

Diese Injektion ist ein Quasi-Isomorphismus. Um dies zu sehen, betrachtet man den Quotientenkomplex und zeigt, daß

- ^xlf^x - - - - - ^ dMxIdMx П Q\

ein Isomorphismus ist. Die Surjektivität ist einfach und zum Nachweis der Injektivität berücksichtigt man, daß eine meromorphe Funktion / regulär ist, wenn df regulär ist.