Kosarew , Formales Prinzip

25

( ii ) Der Funktor Ъош^(а. b): (Gan/S) —► (Mengen) erßllt die Bedingung (L5).

Dann gilt: Genau dann sind а und b isomorph, wenn ihre Bilder in F{§) übereinstimmen.

3 . 2. Bemerkung. (1) Der Schluß in 3. 1 (i) ist gültig, falls das projektive System (Auty(a)(Sp))^^^ von Gruppen die Mittag-Leffler-Bedingung erfüllt.

( 2 ) Ist der Funktor Isom^ (g, b) darstellbar, so sind 3. 1 (i) und 3. 1 (ii) stets erfüllt.

3 . 3. Sei F —> (Gan) ein Gruppoid und S —i-> S' eine Erweiterung komplexer Raumkeime sowie a aus F{S). Mit F^iS') bezeichnen wir dann diejenige Kategorie, deren Objekte Morphismen cpi,: a-^b über i sind, und deren Morphismen gegeben sind durch Pfeile b—>c über id^, die mit cpf, und cp^ kommutieren. Sei jetzt a' aus F{S') mit as = a'\S = a. Dann hat man folgende exakte Sequenz von Mengen mit ausgezeichnetem Punkt:

( 3 . 3. 1)^ 1 __^ Aut^(a7a) —> Aut^(a') -^ Aut^(a) ^ {F,{S'l a') —> (Р{П а') —^ {F{Sl a).

Hierbei ist Aut^ {d'/a) die Gruppe aller Automorphismen von a' über idj^, die mit a-^ a' vertauschen. Diese Sequenz ist offensichtlich funktoriell für jeden Morphismus F —^ G von Gruppoiden über (Gan). Ferner operiert die Gruppe Aut^(a) auf der Menge F^iS') durch

( a -^a)Aa^^b)^{a-^a-^ b)

und da' ist die Bahnenabbildung zu a —> a'.

3 . 4. Wir formulieren jetzt ein Analogon der Schlessinger-Bedingung, die wir mit (Sr) bezeichnen (vgl. auch [Bi]2). Gegeben sei ein Diagramm

( 3 . 4 . 1 )

So - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - > S --------------------------> S'

komplexer Raumkeime, wobei S -> S" eine abgeschlossene Einbettung ist. So —> S und S-^S' infinitesimale Erweiterungen sind, so daß J^'= KQm{Os' -^ d^s) ein endlicher Oso' Modul ist.

Sei F—►(Gan) ein Gruppoid. Wir sagen, daß F die Bedingung (ST) erfüllt, falls für jedes Objekt a aus F{S) der Funktor

( 3 . 4 . 2 ) F,(S'US'0->F,(S')xF,(S")

s

eine Äquivalenz von Kategorien ist. Gilt (ST), so folgt (vgl. [Bijj, §1):

22 Journal für Mathematik. Band 388