J reine angew Math 408(1990) 181 201 Journal fur die геше und

angewandte Mathematik

CO Walter de Gruyter Berlin New York 1990

Primzahlfragen in der Diophantischen Geometrie

Von Klaus Langmann m Munster

Viele quasiprojektive Varietäten Z, bei denen die ganzen Punkte nicht Zariski- dicht liegen, besitzen dennoch eine Zariskidichte Menge von rationalen Punkten Bekannteste Beispiele dafür sind elliptische Kurven In § 2 untersuchen wir, was wir über den Nenner der rationalen Punkte xg X aussagen können Z В folgt aus Satz 2 1, daß fur Varietäten X, bei denen es dim X -\-k multiplikativ unabhängige Einheiten gibt, in der Regel die Nenner der rationalen Punkte xe X aus mindestens к verschiedenen Primfaktoren bestehen Satz 2 3 gibt unter anderen Voraussetzungen noch eine weitere Aussage Die Nenner der rationalen Punkte xe X bestehen wieder in der Regel aus к verschiedenen Primfaktoren pi, , p^, wobei außerdem die Pj aus gewissen nicht zu großen Primzahlmengen Pj sind

In §3 werden Räume untersucht, in denen die ganzen Punkte Zariskidicht sein können Ist dann f X -^ С eine feste algebraische Funktion, so fragen wir, was man über die Primzahlzerlegung \on f{x) sagen kann, wenn xeX die ganzen Punkte durchlauft Unter gewissen Voraussetzungen zeigt z В Satz 3 2, daß dann f{x) destens к verschiedene große Primfaktoren besitzt

Zu allen Sätzen werden konkrete Beispiele gegeben Es wird z В fur gewisse unirationale Flachen gezeigt, daß die rationalen Punkte 4 verschiedene Primfaktoren enthalten (2 11) oder daß sie Primfaktoren mit einem positiven Legendresymbol haben (2 3 2) Oder es wird fur elliptische Kurven X gezeigt, daß fur (x, y)eX n Q^ lineare Ausdrucke der Form ax-\-ßy-\-y im Zahler 3 und im Nenner 2 verschiedene Prim- faktoren ungerader Ordnung enthalten (3 2 1, vgl auch 3 11)

Darüber hinaus werden noch konkrete Beispiele gegeben, die m der Formulierung nichts mehr mit Diophantischer Geometrie zu tun haben So hat x"-/ in der Regel d{n)-\ verschiedene Primfaktoren ungerader Ordnung (2 3 1), oder es wird bewiesen, daß fur die Fibonacci-Zahlen x, bei großem \i-j\ sowohl x,4-x^ als auch x,-x^ in der Regel mindestens zwei große Primfaktoren ungerader Ordnung hat (3 2 3, die Aussage wird über einen 7-dimensionalen Raum X hergeleitet) Im Ausblick § 4 wird gezeigt, daß unter einer Vermutung, die u a die Fermatsche Vermutung fur große n nach sich ziehen wurde, man bei beiden Beispielen zeigen konnte, daß die besagten Pnmfaktoren sogar die Ordnung 1 haben

An dieser Stelle sei dem Referenten fur wichtige Hinweise gedankt