Ворр et Наг inch у Formule de Plancherei pour GL (л, C)/U(p, q) 63

Théorème 2.6 ([Во 2], p. 133). Soit f une fonction de 2{Х) et к un entier compris entre 0 et q. La fonction K} vérifie les propriétés:

( 1 ) K}{wa) = Sj^{w)K}(a) pour aeA'^^etweW^.

( 2 ) Kj^ est une fonction de classe ^°^ sur A^ à support borné, admettant un prolongement continu à l'adhérence de chaque composante connexe de Aj^. Déplus elle admet un prolongement ^°° au voisinage des points de A'^{IR),

( 3 ) // existe une fonction s constante sur chaque composante connexe de l'ensemble {A^nA^^^y telle que, pour tout operateur différentiel P = P{d) où Pe S{af^) et pour tout k< q, on ait

lVK } r . { b ) ^s { b ) { v , { V ) Ky' ) { b ) (Ае(ЛпЛ^1У).

( 4 ) Pour tout De D{X)ona

On note w i-> wP l'action du groupe de Weyl WgC^^.c) sur un élément P de S(aj^) et on note s^^ la symétrie par rapport à la racine a^^ qui appartient à Wq (uj^^c)- On déduit alors des propriétés (1) et (3) la propriété

( 5 ) Si P est un élément de 5(а^) qui vérifie s^^P = —P, la fonction PK} admet un prolongement continu au voisinage de tout point de (Àj^nAj^^^)'.

Nous allons démontrer un lemme d'intégration par partie pour certains opérateurs différentiels. La démonstration de la formule de Plancherel repose en partie sur ce lemme.

On note V^ = P^{d) {k = Q, \,..., q) une famille d'opérateurs différentiels associés à des polynômes P^^g S{aj^) tels que v^CPJ = Д +1 pour k = Q,\, ..,,q — \.On suppose de plus, soit que tous les Pj^ sont invariants par Wq {u^^q) (c'est le cas si P^ = y^^ (D) où D g D (Ж)), soit que tous les Pj^ sont anti-invariants par ^с(^к.с) c'est-à-dire que wP^ = (detw)Pfc pour we Wcia^c)- Po^ï" tout élément w de И^о(^л,с) ^^ P^se fy(w) = 1 dans le premier cas et ^(w) = detw dans le deuxième cas. On note ß ь^ 'ß l'unique атотофЫ8те unitaire de l'algèbre S{a) prolongeant l'isomorphisme X v-^ — A" de l'espace vectoriel a.

Théorème 2.7 (Lemme d'intégration par parties). Soit {Wk)k^o,\.....,q une famille de fonctions analytiques sur A'^ telles que

( 1 ) \pi,{wa) = t}{w)Ej^{w)xp^{a) pouraeA'^ et we W^,

( 2 ) \p^ est une fonction dont toutes les dérivées admettent un prolongement continu à l'adhérence de chaque composante connexe de Aj^ et qui admet, déplus, un prolongement ^"^ au voisinage des points de A'^{I).

( 3 ) // existe une fonction s constante sur chaque composante connexe de l'ensemble {A^^nA^^^y telle que pour tout opérateur différentiel Q = ß(3) où QeS{uj^ vérifie SauQ^" -VisJQonait