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f . Gauduchon, Structures de Weyl-Emstein

( 58 ) Ъ^Х^)^{ВуХ+]0^уХ), и

Dans le Lemme suivant, ¥jdx{DJ) note l'espace des endomorphismes y-linéaires et D-parallèles de TM,

Lemme 19. L'application

( 59 ) X-^DX, ^XbA{MJ),

prend ses valeurs dans Ker (D, j) et constitute en isomorphisme d'espaces vectoriels complexes de A{MJ) sur Ker(2),7), dont l'inverse est l'application

( 60 ) а-^а(Г), УабКег(Д;).

En outre, (60) et (61) sont des anti-isomorphismes d'algèbres de Lie complexes.

Démonstration , Soit £= End{TMJ) le fibre des endomorphismes 7-linéaires de TM, muni de la structure holomorphe induite par Ъ. Comme D est une connexion plate, pour tout élément Jf de A{MJ\ la dérivée covariante DX est une section holomorphe de J?. Par ailleurs, la connexion induite par D sur E, que nous notons encore D, est une connexion métrique, relativement à la structure hermitienne naturelle de E induite par [g]. Il résulte alors de (58) que D est la connexion de Chern de E correspondant à cette structure holomorphe et cette structure hermitienne. Comme D est plate, il en résulte que toute section holomorphe de E est D-parallèle, cf. [K-W]. Ceci montre que (61) prend ses valeurs dans Ker(D,y). Le reste du Lemme 19 se démontre comme le Lemme 17. d

Démontration du Théorème 12. Via r(anti)isomorphisme (59), le champ de vecteurs T a pour image l'identité / de TM. La restriction de (59) à Confi M coïncide avec la restriction de (37) à Conf^M, dont l'image est l'espace Ker"^/). Comme j est négative, Ker"*"!) coïncide avec le sous-espace Kerg(D,j) de Ker(D, j) formé des endomorphismes anti-hermitiens à trace nulle (cette observation confirme a posteriori que Conf:i:M est inclus dans A{MJ)).

Ainsi , l'image par (59) du sous-espace Conf+M de A{MJ) est le sous-espace R./ф Kero(jD,/) de Kqt{DJ), qui est clairement une forme réelle de KeT(D,j).

Remarque 15. Le Théorème 12 est à rapprocher du Théorème bien-connu de Y. Matsushima, [Ma], cf. aussi [Be], Th. 11.52, suivant lequel on a, sur toute variété de Kahler-Eînstein compacte à courbure scalaire positive (MJ,g% la décomposition:

( 61 ) A{MJ) = /(M,g) ®jI{M, g).

Références

[ A - H - S ] M. F. Atiyah, N.J, Hitchin, LM. Singer, Self-duality in four dimensional geometry, Ргос. R. Soc.

London A M2 (1979), 425-461. [A-W] M.EÂtiyaKR.S. l^aräf,Instantonsandalgebrmcgeometry,Comm.Math.Phys.55(1977), 117-124.