Ghanaat , Reperebündel

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IL Parallelisierungen

Im zweiten Teil wird die Geometrie parallelisierter Riemannscher Mannigfaltigkeiten P untersucht. Wir geben zunächst einen kurzen Überbhck. Die Parallehsierung со von P induziert einen flachen Zusammenhang V^, der den kanonischen Zusammenhang V^ einer Liegruppe verallgemeinert. Abschnitt 8 gibt, nach den erforderlichen Definitionen, schätzungen insbesondere für Jacobifelder und die Exponentialabbildung exp von V^. Die Abschnitte 9 und 10 enthalten eine Beschreibung der sogenannten lokalen Pseudo-Fun- damentalgruppen Г^ von P für Radien q, die durch die Dimension n von P und die Maximumnorm к des Torsionstensors von V^ abgeschätzt sind.

Die Ergebnisse werden in den folgenden Abschnitten dazu verwendet, die Struktur von Abstandsbällen В(р,д)^Р zu beschreiben. Da der Radius nur einer Bedingung KQ ^ 8{n) unterhegt und keine Annahmen über den Injektivitätsradius von exp im Punkt p gemacht werden, sind solche Bälle im allgemeinen nicht diffeomorph zu einem eukhdischen Ball. Stattdessen wird gezeigt, daß В(р,д) enthalten ist in einer Umgebung f/, die morph ist zu einem Produkt Nx D aus einer kompakten Nilmannigfaltigkeit Л^und einem eukhdischen Ball D. Dabei ist TV mit trivialem Normalenbündel in P eingebettet und enthält den Punkt/7. Ist speziell q kleiner als der Injektivitätsradius von exp inp, dann ist Л^ = {/?}.

Ein Diffeomorphismus Nx D ^ U ist gegeben durch die Einschränkung

ехрд , = ехр|,^

von exp auf eine Umgebung des Nullschnittes in einem geeignet definierten bündel v^ von N. Schranken aus Anhang В und Satz 12.1 zeigen, daß die Abbildung Nx D ^ и nahezu isometrisch ist, wenn man auf TV eine geeignete linksinvariante Metrik und auf D eine flache Metrik verwendet.

Die Ergebnisse des zweiten Teils sind im wesentlichen in Satz 11.1 zusammengefaßt. Die Nilmannigfaltigkeit iV wird in Abschnitt 11 konstruiert als Niveaumenge einer Faserung / einer geeigneten Umgebung von p. Die lokale Liegruppenstruktur auf Л^ ist, wie im zwölften Abschnitt erläutert wird, durch eine nilpotente Maurer-Cartan-Form coq gegeben. Diese erhält man, indem man eine geeignete Komponente der Parallehsierung auf N rückzieht und dort geringfügig perturbiert. Für Anwendungen insbesondere im dritten Teil dieser Arbeit wichtige Eigenschaften von coq werden ebenfalls in Abschnitt 12 behandelt. In Abschnitt 13 wird unter Verwendung von Anhang В der Injektivitätsradius der normalen Exponentialabbildung ехрдг abgeschätzt und der Beweis von Satz 11.1 beendet.

8 . Parallelisierte Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Sdw.TP -^ E eine rung der diff'erenzierbaren Mannigfaltigkeit P mit Werten in einem euklidischen raum E, also eine differenzierbare 1-Form, die jeden Tangen tialraum TpP isomorph auf E abbildet. Derartige Tripel (P, £", cd) werden im folgenden als parallelisierte Riemannsche Mannigfaltigkeiten bezeichnet. Ein Automorphismus von œ ist ein Diffeomorphismus Я von P auf sich mit Я*со = ш. Ist Л eine diskrete Gruppe solcher Automorphismen, so erhält der Quotient Л\Р ebenfalls die Struktur einer parallelisierten Riemannschen faltigkeit, und man gewinnt Aussagen über die Operation von Л in der Umgebung eines Punktes, indem man die lokale Struktur des Quotienten untersucht.

10 Journal fur Mathematik Band 492