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BiUTSth , Herbert: Bas Erepbageiiseblüztbeorem der tonfermeii AbWloiig seUibb» ter Bereîehe» Вег. Verh. sächs. Akad. Leipzig,.Math.-phys. Ш,83, 238—253 (1931).

Die vorliegende Arbeit schließt sich an die Dissertation des Verf. [Leipz. Ber. Äl, 51—86 (1929)] an und löst das dort unter einschränkenden Vorau^etzungen behandelt^ I^oblem: G^eben sei ein endlich oder unendlich vielfach zusammenhängender Bereich der z-Ebene, unter dessen Eandkomponenten zwei besondere R' und B" ausgezeichn^ seifôQ. Er soE so auf die w-Ebene abgebildet werden, daß Ä' und Bf' zwei konzenfeische Kreise \w\== q',\w,\^ q" {q' < q'\q' darf auch 0, q" aucb oo sein) entsprechen und jede andere Randkomponente in einen Kreisbogenschlitz auf einen Kreis |«?j =; ^ iQ'< Q < q") übergeht. Es zeigt sich, daß das Problem st^ts lösbar ist. Um ^ zu einem bis auf die trivialen Substitutionen w'= aw{a=^0) bestimmten zu machen, muß jedoch, wenn der allgemeinste imendlich vielfach zusammenhängende Bereich in Betracht gezogen wird, an den Bildbereich eine weitere Forderung gestellt werden. Der Verf. führt hierfür eine Extremalbedingung ein, die eng mit einer von Koebe eingeführten zusammenhängt, jedoch im Gegensatz zu dieser reüi geometrisch- tionentheoretischer Natur ist. Analoge Betrachtungen führt der Verf. in seiner Arbeit: Zum ParallelschHtztheorem der konformen Abbildung schlichter unendlich-vielfach zusammenhängender Bereiche" durch. (Vgl. dies. Zbl. 3, 14.) K. Löwner (Prag),

Grotzseh , Herbert: Über die YerseMebung bei sehliehter konformer Abbildung sehllehter Bereiche. Ber. Verh. sächs. Akad. Leipzig, Math.-phys. Kl. 83,254—279 (1931).

Sei Bn ein n-fach zusammenhängender Bereich der z-Ebene, der z = oo im Inneren enthält, und w = f{z) eme Funktion, die ihn schlicht abbildet und deren Entwicklung

im Unendlichen die Gestalt hat: w;=z-f — -f-%-f .... Aus den Verzerrungs-

Sätzen folgt dann leicht, daß [/(Zj) —Zi| für ein vorgeschriebenes z=Zi aus dem Inneren von Bn eme gewisse nur von J5„ und z^ abhängige endliche Schranke nicht übersteigen kann. Der Verf. stellt imd löst im Hauptteil der Arbeit das viel weitergehende Problem, den genauen Wertebereich von /(Zj) zu b^timmen, falls /j die Gesamtheit der oben charakterisierten Funktionen durchläuft. Um die Lösung angeben zu können, müssen wir zunächst das vom Verf. bewiesene „Parabelschlitztheorem" formulieren: Sei Zi wieder ein vorgeschriebener Punkt von 5„. Dann gibt er genau eine wie oben normierte Abbildung von Б„ auf einen von konfokalen segmenten, mit dem Bild von % als Brennpunkt, begrenzten Bereich mit vorgeschriebener Achsenrichtung. Die Achse ist etwa von der äußeren nach der inneren Seite der Parabel orientiert zu denken. Wird die Achsenrichtung gedreht, so beschreibt der Bildpunkt von Zj einen Kreis K(Zj). — Die Lösimg der oben gestellten Frage lautet: Der gesuchte Wertebereich ist die von K{zj) begrenzte abgeschlossene Kreisscheibe. Zu jedem inneren Punkt derselben gehören unendlich viele Abbildungen, zu einem Eandpunkt nur die im Parabelschlitztheorem auftretende Abbildung. Es wird hierauf ein analoger Satz aufgestellt für einen auf dem Bande von J5« liegenden Punkt Zi, der den bekannten Satz | f{zj) | ^ 2 für eiufach zusammenhängende Bereiche umfaßt und ihn verschärft. K. Läumer (Prag).

Julia , Gaston: Sur la représentation conforme des aires multîplement eonnexes. (I. mem.) Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sei. fis. e mat., П. s. 1, 113—138 (1932).

This paper is concerned with the conformai mappings of domains Ш situated in the complexe z-plane and bounded by p -j- 1 Jordan curves Cq, Oj, .. .^Cj,, where p^l and where Cq denotes the boundary curve which comprises all the other boundary curves in its interior. It can be supposed that the boundary curves are analytic. Two domaias of this type, with the same number of boundary curves, generally cannot be mapped upon each other in a one-to-one and conformai way. On the other hand, there exists a large literature concerning the conformai mappings of such domains upon certain types of canonical domains (boimded by circles, by straight segments.