2^3

Die folgenden Zeilen werden gebildet, indem man nacheinander auf die ersten Zeilen die Operatoren ô*i+*2+•••+«»

in bekannter Reihenfolge anwendet, wobei die s^, unabhängig die Werte 0,1, 2,... durchlaufen. Für jeden Punkt «j,. .., ж^; «j,.. ., a„ des Definitionsgebietes hat die Matrix einen wohlbestimmten Rang ^ n. Für die Gesamtheit der Punkte des Gebietes gibt es dann einen maximalen Rang r, der von einem Punkte des Gebietes angenommen wird. — Verf. beweist den folgenden Satz : Wenn der Maximalrang der Matrix r ist, so können die Funktionen /* als Funktionen von r und nicht weniger Parametern ausgedrückt werden. ü. Wegner (Darmstadt).

dodeau , R.: Sur les équations algébriques dont toutes les raeînes sont réelles. Mathesis 45, 245—252 (1931).

Von E. Laguerre rührt der folgende Satz her: Teilt man das Intervall zwischen zwei benachbarten Nullstellen des Pol3moms f(x) n-t&a Grades mit lauter reellen Nullstellen in n gleiche Teile, so kann die Derivierte /' (x) in den äußersten Teilintervallen nicht verschwinden. — Der Verf. verschärft diesen Satz und bestimmt die untere imd obere Schranke der Wurzeln einer Gleichung f(x) = 0 n-ten. Grades mit lauter reellen Wurzeln. Er scheint aber die Literatur [z. B. die Arbeit des Ref., Jber. d. DMV. 27, 37—iS (1918)] nicht genug zu kennen. Die vom Verf. gefundenen Schranken der Wurzeln bilden nur eine spezielle Form eines in der Literatur mehrmals bewiesenen Satzes von E. Laguerre (Œuvres de Laguerre 1, 92—^93). Sz. Nagy (Szeged).

MeDonough , Donald L.: On the expansion of a certain type of determinant. Amer. Math. Monthly 38, 556—565 (1931).

The proof that a binary form of order n can be written / = 2i<^'**Ji, where the щ^ are given Mnear forms and the J^ are forms of order «^ to be determined so that 2!oii = n — r -\-l, hinges upon the non-vanishing of a certain determinant (Glenn, The Theory of Invariants, p. 120). The author shows that this determinant is a non-zero numerical multiple of a product of .powers of the resultants of the ац.

MacDuffee (Columbus).

Cherubino , Salvatore: Su le forme associate ai polinomi. Rend. Semin. mat. Univ. Padova 2, 80—107 (1931).

Unter den einem reellen Polynom f{x) vom Grade 2 m assoziierten Formen versteht Verf. diejenigen quadratischen Formen in m + 1 Variablen, die bei Ersetzen dieser Variablen durch m + 1 passende linear unabhängige Polynome in x von m-tem Grade mit f{x) identisch werden. Es wird im Anschluß an frühere Arbeiten des Verf. [Rendi- conti del Istituto Lombardo 62 (1929)] gezeigt, daß jedes Polynom vom Grade 2m assoziierte Formen vom Range 1 oder 2 und vom Range m oder m-\- 1 besitzt. Rang 1 kann trivialerweise nur vorkommen, wenn f{x) Quadrat eines reellen Polynoms ist. Rang m+ 1 kommt stets vor, wenn /(ж) keine mehrfache reelle Wurzel hat. Ferner werden Kriterien von Hurwitz [Math. Ann. 73, 173 (1913)], Fujiwara [Tohoku Math. J. 6, 20 (191^^-1915)] und Okada [Jap. J. of Math. 1, 23 (1924)] der folgenden Art — gleichfalls unter Benutzung früherer Ergebnisse des Verf. — hergeleitet: Es sei f{x) définit oder semidefinit [/(ж) > 0 bzw. ^0 für alle reellen ж]. Dann ist ^'(ж) = fiof{x) + ß^if'ix) 4- ... -f /Л2шР^Цх) {fiQ 4= 0) gleichfalls définit oder definit, wenn eine gewisse aus den [j,i zu bildende quadratische Form définit oder semidefinit ist. Hieraus werden einige Folgerungen gezogen. Z. В.: „I coefficienti dei termini di grado dispari nei polinomi definiti possono prefissarsi ad arbitrio". (Es ist Ref. unter Berücksichtigung des „Beweises" nicht gelungen, diesen Satz so zu pretieren, daß etwas Richtiges herauskommt.) Ferner: Ein definites Polynom bleibt définit, wenn man die Glieder ungeraden Grades wegläßt. [Dies erkennt man allerdings ohne assoziierte quadratische Formen einfacher, da mit /(ж) auch /(—ж), also i (fi^) + /(— ^)) définit ist.] Schließlich werden einige Erlassen von definiten Polynomen angegeben. W.Fenchel (Göttingen).