143

pour tous les g, sauf deux au plus, de l'ensemble forme par les constantes et par les fonctions pour lesqueHes Г(г, g)iY{r) tend vers 0 lorsque r -> oo, G. Valiron (Paris).

Levinson , Norman: On the growth of analytie fnnetions. Trans. Amer- Math. Soc. 43, 240—257 (1938).

L'aut . généralise et précise des théorèmes de ?ôlya plath. Z, 29 (1929)] et de V, Bernstein (Séries de pirichlet, chap. IX; voir ce Zbl. 8, 115) concernant l'étude de la croissance du module d'une fonction hçlomorphe dans un angle. Moyennant certaines conditions, la croissance maximum le long d'une demi-droite issue de l'origine, est déterminée par cette croissance en une suite convenable de points asymptotes à cette demi-droite. Les démonstrations de l'aut. sont plus directes que celles de V.Bernstein, elles utilisent surtout la formule d'interpolation de Lagrange, des th. de Carbon et de Carleman, et les travaux antérieurs de l'aut. (voir ce Zbl. 14,301). Voici les deux énoncés les plus simples. I. Soit f{z) holomorphe de г = re»^ et de l'ordre 1 pour \e\<û(., r-*oo, soit Цв) la fonction de Lindelof-Phragmén dans

cet angle (цв) ='^^\о§\Цте^)^. On suppose que Ä(0) ^acosö + & jsinöj,

a = ЦО), 6^0, Si une suite infinie de points z„ est telle que njz^ tende vers -D > —

lorsque %->oo, et que [z^— z^\^\n— m\d, d>0, on &Дт "^,gj" = ^(0) (*).

( Dans l'énoncé de Bernstein, les z„ étaient réels.) П. Si f{z) est hol. et du type

exponentiel dans l'angle [Öj <y, si /(*^) = 0 (1) lorsque \y\-*oo, si njzn-^ D^O

lorsque %^oo et si lavgzJ-^O, {z^ — 2^|^ \n — m\d, <Z > 0, la condition néces-

oo

saire et suffisante pour que (*) ait lieu est que^ -^^ ^ oo. (Note du Eéf.: L'intro-

1 duction de l'ordre précisé permettrait d'étendre les prop, de l'espèce I à tous les modes de croissance.) ^- Valiron (bris).

Chuang , Chi-Tai: Sur un critère de famille quasi-normale et sur le théorème de Sehottky. С E. Acad. Sei., Paris 206, 415—417 (1938).

Signalons la généralisation suivante d'un théorème de M. Ahlfors [C. R. Acad. Sei., Paris 194, 245—247, 1145—1147 (1932); ce Zbl. 3, 407; 4, 118]: S désignant la sphère de Riemann des rayon и n, et de centre à l'origme (du plan Z), soient Z = f{z) une famille de fonctions mérom. dans D,qmx entier positif, et ^=min [?r/4 — e, njq—s], et supposons que chaque fonction de la famille a dans D, q domaines d'univalence au phis où elle prend des valeurs comprises dans im cercle fixe, quelconque de rayon q sur S. Dans ces conditions la famille est quasi-normale d'ordre q au plus dans D. — L'A. précise aussi sa généralisation récente [C. R. Acad. Sei., Paris 204, 1390 (1937); ce Zbl. 16, 309] d'un théorème de M. Valiron. Manddbrojt (Oermont-Ferrand).

Bermant , A.: Sur quelques propriétés des fonctions régulières. C. R. Acad. Sei. URSS, N.s. 18, 137—140 (1938).

■ 1î w = Qé^ = f{z) = i{réf) = г -f aç^z^ H------represents a domam I) contammg

the origin on a domam Z>', then /logg dtp = flogrdO and jlogqdO + /logr d(p > 2flogrde, where the integrals are taken round the boundaries of 2) and D'. From this is shown that jiw = i{z) = г -f ••• is regular for |г1 < 1, a part D of the circle containing the origm is represented on a star domain D' such that the sum of the areas of D and D' is not less than 2n. This generalises results of Golusin (see this Zbl. 17, 407). Other extensions are indicated. МасЫуге (Aberdeen).

Ballieu , Robert: Sur les fonctions localement univalentes dans le eerele-unité. CR. Acad. Sei., Paris 206, 413—415 (1938).

En désignant par М„{г,д) la borne supérieure des modules des valeurs prises

par les dérivées w-ièmes de la" famille des fonctions f{z)=z + a^z^ -\-----, holomog>hes

eflocalement univalentes de module q dans le cercle-unité [voir Montel, Ann. Ecole