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Erdélyi , Artur: Die Fnnksehe Integralgleiebung der KugeUlâehenfimktioiieii iiad ihre Übertragung auf die Überkugel. Math. Ann. 115, 456—465 (1938). The author proposes a new derivation of Funk's integral equation

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where К is an arbitrary function, у the spherical distance of (Ö, q)) and {$', q)'), and Yn an arbitrary surface harmonic of degree n. The characteristic value /*„ depends on К and n. The derivation is based on the special case

K { q ) = e»«^ fx„ = {2ж)H'^oc-iJ^+i{oc), which is equivalent with a wellknown identity. From here the general formula follows by means of Fourier's integral theorem. — An analogous treatment of the ultraspherical case is also indicated. G. Szegö (St. Louis, Mo.).

Howell , W. T.: A note on Hermite polynomials. Philos. Mag., VII. s. 25, 600—601 (1938).

Verf . leitet für das Produkt zweier Hermitescher Polynome einen Summenausdruck ab, dessen Glieder Hermitesche Polynome enthalten. Hierzu geht er von einem früher abgeleiteten unendlichen Integral aus, dessen Integrand das Produkt zweier Weberscher Funktionen und einer Exponentialfunktion ist. Durch Anwendung der Fourierschen Transformationsformel auf dieses unendliche Integral erhält er einen Ausdruck für das Produkt zweier Weberscher Funktionen, dessen rechte Seite ein unendliches gral darstellt, das ausgerechnet die eiugangs erwähnte Summe ergibt. M, J. 0. Strvtt.

Beale , Frank S.: On the polynomials related to the differential equation—-~

=s .*'^+"f^ „ = ~. Ann. math. Statist. 8, 206—223 (1937).

This article deals with a system of polynomials, P«(^, ж), associated with the solutions of Pearson's differential equation, as previously discussed by E. H. brandt (see this Zbl. 4, 344). This general system includes the classical polynomials of Hermite, Legendre, Laguerre and Jacobi, employed rather extensively in statistical theory. Beyond this application the present paper which treats exhaustively the distribution of the zeros of such polynomials, has little direct statistical import. In contrast to many analogous investigations, employing differential equations of the second order, the methods here used are based for the most part upon differential equations of the first order. Albert A. Bennett (Providence).

Howell , W. T.: On a elass of functions which are self-reeiproeal in the Hankel transform. PMlos. Mag., VII. s. 25, 622—628 (1938).

Verf . geht von eiaem Titchmarshschen Ergebnis aus, das für eiue Funktion unter gewissen Bedingungen eiue Selbstreziprozität in bezug auf eine Hankeische mation feststellt und leitet dieses Ergebnis mit Hilfe einiger bekannter Formeln der operatorischen Rechenweise ab. Als erstes Beispiel für eine solche Funktion behandelt er das Produkt einer Exponentialfunktion, emer Potenz und eines Laguerreschen Polynoms. Als zweites Beispiel nennt er ein Batemansches Polynom. Er gibt eiaige weitere Beispiele zu seiner Methode zur Bestinmaung der Selbstreziprozität vorgegebener Funktionen. Das erste Beispiel enthält den Quotienten einer Exponentialfunktion und einer Potenz. Bei der Behandlung ergibt sich eine unendliche Integralformel, deren Integrand das Produkt einer Besselschen Funktion, emer Exponentialfunktion imd einer Laguerreschen Funktion ist. Das Ergebnis enthält das Produkt emer ponentialfunktion, einer Potenz imd einer Laguerreschen Punktion. Verf. betrachtet einige Sonderfälle dieser Formel. In einem Anhang wendet er seine Ergebnisse zur Lösung eiaer Integralgleichung an. Ж. J. 0. Strvtt (Emdhoven).

Whittaker , J. M., and W.N. Bailey: Note on the products for the theta-functions. J. London Math. Soc. 13, 114 (1938).