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stanten des Problems wird naher untersucht. Nebenbei ergibt sich, daß N + 2 seitig orthogonale Sphären das einzige System bilden, bei dem das Produkt der Inversionen gleich der Identität ist.—Das Kapitel IV ist schließlich der Untersuchung der Bedingungen gewidmet, die erfüllt seia müssen, wenn das gegebene Inversionsprodukt gleich einer sion ist. Es ergibt sich wieder eine Reihe von vektoriellen Bedingungen für die vektoren der Mittelpunkte, die hier nicht wiedergegeben werden können. Verlangt man, daß die n Mittelpunkte einen Ä„_j aufspannen, so erfüllt nur das System von N + 1 Ortho- gonaLsphären die gewünschte Bedingung. Burau (Hamburg).

Hohenberg , Fritz: Die linearen und quadratischen Oebilde der komplexen affinen Ebene. Österreich. Akad. Wiss., math.-naturw. KL, S.-B., IIa 157,177—236 (1949).

Es werden reelle Modelle der ins Komplexe erweiterten affinen Ebene E aufgesucht, indem die komplexen affinen Punktkoordinaten Zj und Zg je in einer Gaußschen Zahlenebene E^ und E^ gedeutet werden. Dadurch entsprechen den komplexen Punkten von E 1. bei vereinigter Lage von E-^undE^ die reellen Punkte- paare einer Ebene E-^^, 2. bei paralleler Lage von Ej^ und E^ die Strahlen eines E/aumes S, die die Bildpunkte 2j und z^ verbinden, und 3. bei ganznormäler Lage von E^ und J&2 in einem vierdimensionalen Raum E dessen reelle Punkte. — Einer komplexen Affinität in E entspricht in R eine spezielle reelle Affinität, in S eine spezielle quadratische Strahltransformation, insonderheit eine spezielle r.eelle Kolhneation, wenn in E reelle Richtungen in ebensolche übergehen. — Es werden sodann der Reihe nach die ein-, zwei- und dreidimensionalen linearen gebilde in der komplexen affinen Ebene E betrachtet, bei denen z^ und z^ als lineare Polynome in ein, zwei oder drei reellen Parametern definiert sind. Ihnen entsprechen in E-^^ ähnliche Punktreihen, Affinitäten, Zentralkorrelationen, in >S^ Strahlseharen, Strahlnetze, Strahlgewinde und in E Geraden, Ebenen, Hyperebenen. Analog bestehen bei den quadratischen Kettengebilden Beziehungen zur Veronesefläche. — Einem komplexen Kegelschnitt der affinen Ebene E entspricht in E^2 ^i^^ konforme (2,2)-Verwandtschaft, insonderheit eine Möbiussche Kreisverwandtschaft, dagegen in S eine Cremonasche Strahlkongruenz. Schließlich werden noch die Segreschen Hyperkegelschnitte vom affinen Standpunkt aus untersucht, klassifiziert und in E^^ konstruktiv behandelt. In E entsprechen ihnen spezielle Hyperflächen zweiter Ordnung; deren Polarität liefert eine neue Art von Polarität an einem Hyperkegelschnitt. In 8 ergeben sich zirkuläre quadratische Strahlkomplexe, deren Komplexkegel von den zu E-^ und E2 parallelen Ebenen nach Kreisen geschnitten werden, i. a. Hirstsche Strahlkomplexe [vgl. dazu Ref., S.-B. Akad. Wiss. Wien, math.-nat. Kl., IIa 145, 657—680 (1936) und 147, 37—47 (1938); dies. Zbl. 17, 29; 19, 322]. Den automorphen Affinitäten des Hyper- kegelschnittes entsprechen hierbei automorphe quadratische tionen des Bildkomplexes, insbesondere Kollineationen, die sich als nichteukHdische Schraubungen mit festen Achsen deuten lassen. K. StrubecJcer (Karlsruhe).

Arvesen , Ole Peder: Quelques applications de l'addition géométrique des courbes et des surfaces algébriques. Norske Vid. Selsk. Forhdl. 22, Nr. 35, 163—166 (1950).

Verf . hat eine geometrische Addition der Kurven in der Ebene betrachtet [Norske Vid. Selsk. Forhdl. 12, 115—118 (1940); dies. Zbl. 26, 147]; hier findet man eine räumliche Anwendung derselben Methode. Als Beispiele : die Gleichung eines Toms ; die Gleichungen der zwei Paraboloide und anderer algebraischen Flächen aus denjenigen von zwei in verschiedenen Ebenen hegenden Parabeln. Togliaüi.

Arvesen , Ole Pedcr: Sur certaines surfaces algébriques, parmi lesquelles la surface de Steiner constitue le cas le plus simple. Norske Vid. Selsk. Forhdl. 22, Nr. 42, 198—201 (1950).

Die hier betrachteten Flächen sind die Enveloppen der Klasse n— 1, die man erhält, wenù man die erste Polare der unendHchfernen Ebene in bezug auf eine in n Bündel zerfallende Enveloppe n-tev Klasse konstruiert. Für ît == 4