115

Funktionen p

, j^ ergeben sich die charakteristischen Bedingungen p^j,=

'Pki

ЦР , Я ) г , 1Ыс=РгзЯ } ис + Ргк^ко +PzlcuiJ'

Pst Ptr Pn iPi P')lTSt + ■••+ {PiP'fnrst = Pst Ptr P'rs

Pst Ptr Pn

Diese werden näher diskutiert und zum Schluß als Anwendung notwendige und reichende Bedingungen dafür gewonnen, daß eine Regelfläche des S^_.^ abwickelbar oder sogar ein Kegel sei. *^- PM (Dacca).

Pinl , M.: Abwickelbare Schiebfläcben in -R„. Comment, math. Helvetici 24, 64—67 (1950).

Die Gaußsche Krümmung К der Schiebfläche ï = t)(^) + è(^) des R^ hat die Gestalt К = {l[g^) [t)^ j« t)„ J [t)« bv bvvl^ wobei g = jg-,^! ф 0 die minante des metrischen Fundamentaltensors und die eckigen Klammern Plücker- sche Tensoren 3. Stufe (Trivektoren) bedeuten. Es folgt: Eine Schiebfläche des B^ ist dann und nur dann (a\af die Ebene) abwickelbar, wenn die Überschiebung der Trivektoren, die je durch die Schmiegebene der einen und den Tangentenvektor der anderen Schiebkurve gebildet werden, verschwindet. Im B^ ist dies nach Lie nur bei ZyKnderflächen zutreffend. Im B^ verschwindet К dann und nur dann, wenn in jedem Punkte der Fläche die beiden von der (gemeinsamen) tialebene und den Schmiegebenen der Schiebkurven in diesem Punkte aufgespannten dreidimensionalen Räume orthogonal sind. Im B^ endHch zerfallen die baren Schiebflächen in drei Klassen, bei denen die Schmiegebenen der beiden Schiebkurven in jedem Flächenpunkte entweder (1) zusammenfallen oder (2) einen dreidimensionalen oder (3) einen vierdimensionalen Raum aufspannen. Im ersten Falle entstehen Ebenen, im zweiten Falle Zylinder, im dritten Falle allgemeine abwickelbare Schiebflächen des J?„; die letzten existieren frühestens im B^. Als Beispiel einer allgemeinen Schiebfläche des letzten Typs dient zum Schluß die kannte Eallingsche abwickelbare Schiebfläche in B^ mit Kreisen in ganznormalen Ebenen als Schiebkurven. K. Strubecker (Karlsruhe).

Кгирра , е.: Zur Differentialgeometrie der StrahBlächen und Raumkurven. Österreich. Akad. Wiss., math.-naturw. KL, S.-B., IIa 157, 143—176 (1949).

Gegeben sei durch ihi-en Tangenteneinheitsvebtor e («) die Raumkurve r vom Ortsvektor г=/е(м)йад(« = Bogen). Ihr begleitendes Dreibein M{e,n,i) besteht aus der Tangente, der Haupt- und der Binormalen. Sind ащ und ащ die Kontingenzwinkel der Tangenten und der Schmiegebenen, so ist x (u) = ащ/аи die Krümmung und x^ (u) = ащ/аи die Torsion der Kurve r. Die Theorie der Raumkurven s und ihrer Tangentenfläehen fließt dann aus den Formeln

( 1 )

x = J e (u)du; 1 = х(и) + ve (u),

0

e = й;n, n = — л: e + 5Cig, Ь— —'^iH, \ }c = dujdu, Xj = dugßu.

Ordqet man der Bewegung des Dreibeins В (e, n, §) längs r die Bewegung des gleichgestellten Dreibeines 8 (e, n, i) so zu, daß 8 eine Kurve s mit der Geschwindigkeit eins durchläuft und der Tangentenvektor t (u) von s zur rektifizierenden Ebene von r parallel bleibt und mit e den Winkel о (и) (—jï/2 <ß^ n/2) bildet, also t = e cos <т + gsin ö ist, so beschreibt die Gerade e des Dreibeines/S eine Strahlfläehe (= Regelfläche) f^, und es gelten die zu (1) analogen Gleichungen

( 2 )

§ ( « )

/ (e cos <T

0

^sia0 ) du ; j = 0 (м) + e e (ад).

X = duj/du, Щ = dujdu.

«itt ,

Dabei stellt ê (и) die auf die Kurve r längentreu bezogene Striktionslinie s der Strahlfläehe dar, und das Dreibein 8 (e, n, %) besteht aus ihrer Erzeugenden e, der Zentxainormalen ti und der Zentraltangente §. —Verf. nennt die Invarianten x(u) und %(«*) natürliche

8 *