S86

étions sur l'espace euclidien telles que les hypersphères correspondent aux hyper- sphères. Des applications à l'optique géométrique et aux variétés de Fermât associées à un muieu optique terminent cet exposé. Les démonstrations paraîtront dans d'autres périodiques. Lichnerowicz (Paris).

Tepoioflle :

• ВоигЬаМ,5.: Éléments de mathématicpe. X. V^ Pt. Les structures fondamentales de Panalyse. Livre Ш: Topologie générale. Chapitre X: Espaces fonctionnels^ Dictionnaire. (Actual, sei. industr., Ko. 1084.) Paris : Hermann & Cie. 1949. 101 p.

Bei der Betrachtung der Topologien des Systems % (X, Y) der eindeutigen bildungen von X in Г wird von vornhereiû vorausgesetzt, daß X ein topologischer und Y ein uniformer Raum ist. ^ wird zu einem uniformen Baum '}^q vermöge der uniformen Konvergenz auf Teilmengen S von X eines Systems S; Spezialfälle davon sind die einfache Kon\^ergenz, die uniforme Konvergenz auf X, und die kompakte Konvergenz, bei welcher © aus allen kompakten Teilmengen von X steht. Die topologischen Eigenschaften von ^© werden näher untersucht; z. B. ist g(S, falls darin das Hausdorffsche Trennungsaxiom gilt, dann und nur dann ständig, wenn Y es ist. Das System S5(X, Y) der beschränkten Abbildung wird eingehend studiert im Palle, daß Y metrisch oder linear metrisch ist. In je einem eigenen Abschnitt kommen das System (£(X, Y) der stetigen Abbildungen, ferner die Mengen von Abbildungen gleichgradiger Stetigkeit und die kompakten Mengen stetiger Abbildungen zur Behandlung. Auch die topologischen Selbstabbildungen eines Raumes werden dabei berührt, sei es, daß eine gleichgradig stetige oder eine lokal kompakte Gruppe von solchen Abbildungen Gegenstand sind. Der letzte schnitt ist der Approximation stetiger reeller Punktionen gewidmet, welche im "Weierstraß-Stoneschen Satz [M. H. Stone, The generalized Weierstrass tion theorem, Math. Magazine, Texas 21, 167—184, 237—254 (1948)] gipfelt: Der Ring Ш [^] aller Funktionen, die ganz rational aus dem Körper der reellen Zahlen und einem Teilsystem ^ des Systems (S(X, B) der stetigen reellen Funktionen auf dem Kompaktum X erzeugbar sind („Polynomring über |v'"), ist dann und nur dann in (E(X, B) dicht im Sinne uniformer Konvergenz auf X, wenn § auf X separativ ist. Das Letzte besagt, daß es zu je zwei verschiedenen Punkten x, у von X eine Funktion / aus ^ gibt mit f{x) ^f{y). — An die 70 Übungsaufgaben sorgen in der für Bourbaki üblichen Weise für weitere Anregungen. Das Ende des Kapitels bilden eine kurze historische Xote und Verzeichnisse für Bezeichnungen und griffe. — Als Abschluß des dritten Buches ist ein Lexikon der topologischen Sprache beigegeben, in dem auch die deutschen und englischen Wortbildungen gesammelt sind. Es trifft ein allgemeines dringendes Bedürfnis, besitzt aber leider nicht ganz die wünschenswerte Vollständigkeit. Aumann (Würzburg).

Nagata , Jim'iehi: On lattices of functions on topological spaces and of functions on uniform spaces. Osaka math. J. 1, 166—181 (1949).

L'A . étend à des espaces topologiques (ou uniformes) non compacts les mes bien connus sur la earactérisation de la topologie d'un espace compact par les propriétés de l'ensemble des fonctions continues numériques siir un tel espaee„ Citons deux de ses résultats: I. Soient B^^, B^ deux espaces complètement réguliers, L{Bj) et L{B^) les „lattices" de fonctions numériques bornées, ^ 0 et semi-continues supérietirement dans -Sj (resp. B^); pour que B-^ et B^ soient homéomorphes, il faut et il s^it que L(B^) et I'(B^) soient isomorphes. IL B^ et B^ étant encore complètement réguliers, soient C(Bj) et €(B^) les anneaux de fonctions continues dans B^ et ^2' изипш de la topologie de la convergence simple; pour que B^ et B^ soient homéomor0ies, il faut et Д suffit que les anneaux topologiques G(B^) et CiB^y soient isomorphes. D'autres théorèmes donnent des conditions analogues.