Peat3r|agia (PoaWagin), lu S.: Einige topôlogisehe Invanaaten gesehlassener Biemanngeher Mamiigfattigbeiten, bvestija Akad. Nauk SSSB, Ser. mat. 13, 125—162 (1949) [Russisob].

Verf . überta-ä^ die Ei^ebnisse der ersten der beiden vorstehend besprocbenen Arbeiten in die Spradie der alternierenden Differentialformen oder Tensorfelder, c&e nach E. Cartan nxià G. de Eh am die Homologietheorie (mit Division) einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit Tsiedei^eben, wobei dem Bandoperator die äuBere Differentiation entspricht. Nach einem leitenden, von V. A. Rochlin zusammengesteHten Paragraphen über Ше Homologietheorie der Tensorfelder wird zunächst eine Homologiebasis von E(k, l), l^h-{-l, für Tensorfelder r-ter Stufe, r^k, aufgesteUt. Da H(k, l) die Gruppe & der Drehungen des E^^ um О als lyansitive Transformationsgmppe zailäßt, kann man sieh auf gegen G invariante Tensorfelder beschränken; die Aufgabe reduziert sich also auf die Untersuchung der in einem festen Element М^СН{к,1) definierten Tensoren, die invariant sind gegen die üntergrappe Gf,ÇG, die JSg

in sich transformiert. %,__, e^, f^,__, /^ seien orthogonale Einheitsvektoren in Ä*+', davon

«1 , ___ , ej in B%. Ist TJ eine Umgebung von i?§, deren Elemente Щ bei Orthogonalprojektion

eineindeutig unter Erhaltung der Orientierung auf Jîg abgebüdet werden, und sind die i

^^ =z e,+• J^ iij fj (* = 1,__, k) die Vektoren von 5|, die sich auf die e^ projizieren, so kann

3 = 1 ^ ,

man die |j-,- als lokale Koordinaten in V benutzen. Die mit variablen Vektoren |* = \\è^j\\

i <p = 1,..., r) aus и gebildeten |5^ = ^ i%} $ßj (p Ф q; p, g = 1,..., r) verhalten sich in

/ = i a, ß wie die Komponenten eines Tensors 2. Stufe in Щ. Bei geradem к bzw. bei durch 4 barem r = 2s seien

und K?-(i\,..,^^) bzw. jff'd^. ..,1^) die entsprechenden, bez. аПег 1* alternierenden Multilinearformen. Schließlich bezeichne K^ (|i, ,..,!'■) das äußere Produkt solcher Formen K^; Q steht dabei für {r.^,..., г*}, r^ ^ • • • ^ r^, r^^é (mod 4), ^ ?v = г{д) — r. Durch Anwen-

dung von G erhalt man daraus aui B.{k, l) gegen G invariante Tensorfelder Ш, Ш, die sich bez. jedes W £ Н(к, l) in den lokalen Koordinaten ebenso ausdrücken wie bez. E^. Die Ш^ (einschl. M^ für r = k) büden eine Homologiebasis der Tensorfelder й-ter ^ Stufe von Н{к, l) (r ^ k< l — l). (Zum Beweis der Unabhängigkeit der Basis muß Verf. auf die entsprechenden Untersuchungen für die Zx zurückgreifen.) — Jf* sei regulär in E''*^ «ingebettet, T(Jf*) ihr Tangentenbild. Jedes ^ bestimmt ein charakteristisches Tensorfeld J* auf Jf*; dazu hat man in der Form K^ (§\ ..., 1^), ausgedrückt in lokalen Koordinaten der Umgebung U^ von Tjs é 3(k, l), Koordinaten und Vektorkomponenten mittels der Transformationsformeln dtuxih ihre Ausdrücke in einem lokalen Koordinatensystem von жСЖ* zu eisetzen. Daß die P^ von l und von der speziellen Wahl der regulären Einbettung der M^ in B^'^^ unabhängig sind, zeigt man älinlich wie bei den char. ZyMen. Die char. Tensorfelder lassen sich durch den Rie- mannsehen Krümmungstensor der Ж* berechnen — die Formeln werden explizite angegeben; dabei maß die durch die Einbettung bestimmte Metrik zugrande gelegt werden. — Zwischen den char, Tensorfeldern und den char. Zyklen X^, % € X (nur diese kommen für Homologie mit Division in Frage), besteht folgender Zusammenhang: zu jedem й^ bzw. P^ gibt es einen ikl~r)-mmens.ZjMm,r=rix)=-r(Q),Z(^e)^ J^ aP^ Zz von H (k,l) bzw. X(P^)= J^aß^Xx

von Jf* so daß für jeden ganzzahligen ?--dimens. Zyklus W von H{lc, l) bzw. T von Jf* gilt:

( 1 ) ]m = HZ im), W) bzw. (2) / Pe == J(X(Pô), У);

W Y

dabei bezeichnet / den Schnittindex der Zyklen. Die a^^ sind reelle Zahlen und bestimmen sich aus (1) zu: ф'^ = % wean f Ф 1; #^^ = 0, w«nn хФ1; а^ — ^^т-, огд. Flächeninhalt der fc-dimens. Einheitékugeâ; allgemein a^^— \ j ^, wobei %{%)~'l—x{k~i -f !)• ï^ P^

UJöd Г = Jf* eigibt sieh hierauf, die bekannte Verallgemeinerung der Gauß-Bonnetjschen Forrasl; / P» = %i /(Xi, W) = i % X^, Xj die Eulerscfae Charakteristik von Jf* (s. vorsteh.

Referat ) . Wie w€ât die e^^dureli (2) bestimmt sind, hteibt offen, da man nicht weiß, ob zwischen de» Xx BrfattoößK Tb^t^hen. • FaÄ»wfe (Berlin).

. Féiy^ MFâoî Iti^ioartiie шит Ь p-ôtoageiaent ies t^nstormatiens ЩхЦщхщт.

^m . * Tmäh . , Bd>ïfeee» 1, 10ô~llê (1949); . - . . .

• В dfeigae dam Fespace lenoMien J^g une surface homéoiaorpîie à тше sphère;