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tigkeit < a. — Der Beweis erfordert die Einführung einer Reihe neuer Begriffe der Mengenlehre: Die Kardinalzahl m heiße a-regulär, wenn sie nicht als Summe von Kardinalzahlen < m gestellt werden kann, deren Anzahl < a ist. Die Ordnui^szahl в heiße a-regulär, wenn sie zu keiner Zahl 0' mit Q' < со (а) konfinal ist. — Die Bedingungen A", B", W° werden wie A, B, W formxiliert; nur seien m, в a-regular. Ferner seien A**, B"*, W» diejenigen Bedingungen, die wie

A , B, W lauten, wenn jedoch auf jede Regularitätseigenschaft von m, Ù verziehtet wird. ~- Ein System von Mengen heiße a-zentriert, wenn jedes Teilsystem der Mächtigkeit < а einen leeren Durchschnitt hat. Dann sei die Eigenschaft (B W)**: Jedes a-zentrierte, wohlgeordnete System des Typus Ô, oi(a) < В <, соф), abnehmender al^eschlossener Mengen des Raumes В hesitzt einen nicht-leeren Durchschnitt. Durch die Einführung von Regularitätsforderungen an в entstehen: (BW) bzw. (BW)". — Verf. beweist nun die Äquivalenz der folgenden 9 schaften: A«, A, B«, B, (BW)«, (BW)», (BW), W°, W. Wenn b eine reguläre Kardinalzahl ist, ist zu allen diesen auch noch W" äquivalent. — Der Raum В heiße [a, схз]- oder „a-final"- kompakt, wenn er [a, ô]-kompakt ist für beliebiges b^ a. Im Falle von a = Ki heiße В dann „final" kompakt schlechthin. Final kompakte Räume haben eine Reihe von Eigenschaften der Bäume mit abzählbarer Basis. Es seien F und Ф zwei punktfremde Mengen des regulären Raumes

B . Wenn F und Ф final kompakt sind, so haben sie in В punktfremde Umgebungen. — Auch der Begriff der lokalen Kompaktheit wird verallgemeinert: В heiße lokal [a, b]-kompakt, wenn jeder Punkt von В eine Umgebung besitzt, deren abgeschlossene Hülle [a, ô}-kompakt ist. Es gilt: Dafür, daß der Hausdorffsehe Raum В sich durch Hinzufügung eines Punktes zu einem Hansdorffsehen [a, 6]-kompakten Räume erweitern läßt, ist die lokale £«, è]-Kompaktheit von В notwendig und hinreichend. — Der Raum В heiße „kogredient" [a, &]-kompakt, wenn jede Teilmenge von В [а, è]-kompakt ist. — Verf. beweist: Es sei [a, b] ein nichttriviales keitsintervall (d. h. entweder ist a < Ь oder im Falle а == b ist а regulär.) Dann ist die schaft der kogredienten [a, 6]-Kompaktheit äquivalent der kogredienten [a, oo]-Kompaktheit. — Ein weiterer Satz bezieht sich auf die folgenden Begriffe: а sei eine reguläre Kardinalzahl. Eine Menge heiße a-insichdicht, wenn jeder Punkt ein Verdichtungspunkt der Mächtigkeit а ist. Eine Menge heiße a-nirgendsdicht, wenn sie keine nichtleere a-insichdichte Teilmenge enthält. — Verf. beweist: Dafür, daß der Raum В kogredient [a, oo]-kompakt ist, ist jede der folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend: P) Jede in В liegende Menge ist Summe einer a- insichdichten Menge, die auch leer sein kann, und einer Menge der Mächtigkeit < a. P') Jede «-nii^endsdichte Menge von В hat eine Mächtigkeit < a. P") Jede nirgendsdichte Menge von В hat eine Mächtigkeit < a. — Zum Schluß beweist Verf. einen Satz über die Mächtigkeit -kc^redienter [a, oo]-kompakter Räume. WcMer Thimm.

Sbirota , Taira: On systems of structures of a completely regular space. Osaka

math . J. 2, 131--143 (1950).

The author refers to „Convergence and uniformity in topology" (Princeton 1940) Ъу J. W. Tuckey for most of the notions and notations used in his paper. He considers the set of all structures over a completely regular space R. An order is introduced in the usual manner into it and the ordered system thus obtained is denoted by D (Ä). The following notions are defined : m denoting a certain cardinal number, an m-structure is one, the uniformity of which contains a basis {t/«}, л € ^, where A has a cardinal number <.'m. Then D^{R) stands for the set of all m-struetures over R,D^{R) is the subsystem of D{R) consisting of all totally bounded structures, Dç{R) stands for the set of all complete structures. Further D^^iR) =^ D^R) f) D^iR), JDf^= Df{R) n D^(R). — The main results of the author are stated in four rems, the first one about necessary and sufficient conditions for D^{R) to have the minimum, the second on similar conditions for D^^iR) to have the minimum, the third one, on similar conditions for D^{R) to have the maximum, the last one is about necessary and sufficient conditions for Df^{R) to have the maximum. — In a last paragraph the author gets interesting results about the cardinal numbers of D{R) and of certain of its subsystems. In particular, he proves that if R is not bicompaet, the cardinal number of D^^{R) is not smaller that 2^*. If R however is separable and not bicompaet, then the potency of D{R) and D^(i?) is 2^^*,^ that of D^^iR) and Акв(-К) is 2^°. — It is surprizing that an article on uniformizable spaces should not refer to N. Bourbaki (livre III, chapitres II and IX; this Zbl. 26, 431, 31, 55). The results developed in chapter IX are particularly important.

C . RouiwA.

Zentralblatt fur Mathematik. 40.

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