Torméln (s. z. B. die Formel auf S. 165) fertig zu werden, wie der Verf.! —Trotzdem wird mann, der die Schwierigkeiten der ersten Darstellung einer mathematischen Theorie in form kennt, dem Verf. die gebührende Anerkenntmg für s^ne mühevolle und nützliche Arbeit aollen. Insbesondere in einem Gebiet wie diesem, wo manche der vorhandenen Arbeiten nicht ganz zuverlässig sind, und es nicht immer leicht ist, solchen Tücken zu entgehen, was dem Verf. dagegen meistens gelungen ist. — Um manchen Lesern- Schwierigkeiten zu ersparen, sei nodi bemerkt, daß der Verf. in asymptotischen Formeln das Zeichen <л auch dort verwendet (z. B. in Formeln mit einem 0-Restglied), wo andere das gewöhnliche Gleichheitszeichen = benutzen. Kurzes Inhaltsverzeichnis: 1. Die Differentialgleichungen der „konfluenten" Funktionen (Fkt> (auch parabolische (parab.) Fkt. genannt). 2. Integraldarstellungen der parab. Bkt. und ihrer dukte. 3. Die Asymptotik der parab. Fkt. 4. Integrale und unendl. Reihen mit parab. Fkt. 5. Den parab. Fkt, zugehörende Polynome. 6. Anwendungen auf WeEeuprobleme in parab. Koordinaten. 7. Hullstellen und Eigenwerte. — Ein reichhaltiges Schrifttumsverzeichnis und ein Sachverzeichnis schließen dieses bahnbrechende Werk. F.G. Tricomi.

Bachholz , Herbert: Die Lösungen einer besonderen Whittakerschen genen Differentialgleichung. Math. Z. 57, 167—192 (1953).

Die in der vorliegenden Arbeit betrachtete inhomogene Differentialgleichung ist vom Whittakerschen Typus in der algebraischen Form imd hiat als rechtes Glied das Produkt einer Exponentialfunktion und einer Potenz der imabhängigen änderlichen. Im Falle, daß dieses rechte Glied nicht vorhanden ist, bilden zwei konfluente hypergeometrische Funktionen ein unabhängiges Lösungspaar. Als Lösung der inhomogenen Gleichung erhält Verf. eine nach steigenden Potenzen der unabhängigen Veränderlichen fortlaufende Lösimg. Diese Lösung wird insbesondere in der Umgebung des Nullpunktes betrachtet. Sodann befaßt sich Verf. mit einer nach fallenden Potenzen der imabhängigen Veränderlichen fortschreitenden Lösung. Es wird eine diese beiden Lösungen vereinigende Funktion definiert, und zwar mit Hilfe eines Integrals mit unendlichem Integrations weg in der komplexen Ebene. Dieser Integrationsweg und die Residuen des Integranden werden ausführlich trachtet und geben Anlaß zur Herleitimg der Kgenschaften der allgemeinen Lösung. Insbesondere gelingt es, hieraus asymptotische Formeln für diese Losung abzuleiten. Sodann betrachtet Verf. Formeln für die Ableitung der Lösungsfunktion. Die sung gelingt auch nach der Methode der Variation der Konstanten. Verf. erhält weitere besondere Integraldarsteüimgen für die allgemeine Lösung. M.J.O.Struü.

Chang , Chieh-Chien, Boa-Teh Chu and Vivian O'Brien: An asymptotic pansion of the Whittaker function TF|t,^(z). J. rat. Mech. Analysis 2, 125—135 (1953).

Bei der Ableitung der gesuchten asymptotischen Entwicklung wird von der Methode L a n g e r s Gebrauch gemacht. Die Whittakersche Funktion wird durch ein bestimmtes Integral definiert. Auf dieses Integral wird die Sattelpunktmethode gewandt, ffierdurch gelangt man fast unmittelbar auf die asymptotischen Ausdrücke. Wenn die Sattelpunkte zusammenfallen, verschwinden die ersten Glieder der Taylor-Entwicklung, und es müssen Glieder 3. Ordnung herangezogen werden. Dies wird durchgeführt, und Verf. gelangen auch in diesem FaU zu asymptotischen drücken. M' J- O. Strutt.

FuBktioBaiitteorie :

• Thron, Wolfgang J.: Introduction to the theory of functions of a complex variable. New York: John Wiley & Sons, Inc.; London: Chapman & Hall, Ltd.

1953 . IX, 230 p. $ 6,50.

Bas Bestreben des Verf. war es, eine streng logisch-axiomatisehe Beendung der tionentheorie zu geben, in welcher ieine Lücke durch Hinweise auf andere Msziplinen^usgefülit wenien muß. Hierbei wurde auf das Intuitive und Anschauliche verzichtet; im b^jnderen enthält die Arbeit bäne Kgur. An die Spitze werden 7 Existenzaxiome in bezug auf Objekte und Mengen gestellt. Darunter fällt die postuUerte Existenz derMenge der reelten Zahlen afe ein voDständiger geordneter Körper. Auf diesen Axiomen und insgesamt 229 I^lnitionen taßen 567 Äeoreme, Tind in 70 Bemerkungen werden Kommentare gegel»n. Ate Beispieb für die GründBdhfceit^ âe»