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la catégorieÏÏt appelés modèles; on associe alors comme suit à tout foncteur du premier type T: Ш-> Ш rxa foncteur Т:Ж -^ <ë. Pour tout objet A ^Ж, T(A} est le groupe libre engendré par les paires (ç), î») où ç>: M -^ A est une carte de 21 et Ж -; Ш, m £ T(M). Pour toute carte a: A->B àe% T{(x) est défini par T(<x) (q>, m) — {(x(p, m) (ce qui vérifie bien T{(x): T{A) -> T{B))_ On a une transfoimation naturelle Ф: T ~> T définie par Ф{А) {q>,m) = T{(p) (m) (ce qui vérifie bien Ф(А): T(A)-^ T{A)). La première notion fondamentale est celle de foncteur sentable; on entend par là qu'ü existe une transformation naturelle W: T -^ T telle que Ф!Р soit l'identité; W est appelée représentation de T. Tout foncteur du deuxième type K: 21 -» 8(3 dorme lieu à une suite de foncteurs K„: 21 -> (S et de transformations naturelles 8^: £g -^ K^^ telles que êç_j ô^ = 0. Soient К et L deux foncteurs de % vers сШ ; une transformation naturelle f: К -^ L (appelée aussi carte (map)) donne lieu à une suite de transformations turelles f^: Kg-> Lg satisfaisant à SJ^ = /ç_i 8g. La carte est dite définie en dimensions ^ n si les /^ sont seiilement définis pour q <. n et satisfont à cette condition. Soient f et g deux cartes de К vers L; une homotopie D: f^^^g est une suite de transformations naturelles D^: Je -^ ffg+i. telles que 8^^ Dg + D^^ <^q = Qg — /«; si les D^ sont seulement définis рошт q<. n, l'homotopie est dite définie en dimensions <.n. Le théorème fondamental s'énonce ainsi. Soient К et L deux foncteurs de % vers ê@ et /: К -^ L une carte en dimensions < q. Si le foncteur K^ est représentable pour tout % ^ g et si H„(L(M)) = 0 pour tout n'^ q— 1 et tout modèle Ж, alors / admet une extension /' définie en toutes dimensions; de plus si /' et /" sont deux telles extensions, ü existe une homotopie D: f !=^ f" qui s'anmde en dimensions n <. q. Ces résultats sont d'abord appliqués aux complexes à opérateurs et aux théories de l'homologie des systèmes multiplicatifs. Les AA. les utilisent ensuite pour démontrer l'équivalence dç ses théories de l'homologie des espaces topologiques, notamment l'homologie singulière classique [voir S. Eilenberg, Ann. of Math., IL Ser. 45, 407—447 (1944)] et l'homologie singulière -cubique de H. Car tan et J. P. Serre (voir J. P. Serre, Ann. of Math., П. Ser. 51, 425—506 ■(1-/52)]. Alois qu'en homologie singulière classique il est inutile de normaliser le complexe singulier par l'introduction de simplexes dégénérés, cela est essentiel en homologie cubique.

P . Dedecker.

Eilenberg , Samuel and J. A. Zilber: On products of complexes. Amer. J. Math. 75, 200-204 (1953).

Les résultats d'xm travail d'Eüenberg-MacLane (voir le rapport précédent) sont appliqués aux complexes semi-simpHciaux complets (s. s. c). Un tel complexe peut se définir comme suit. On considère le catégorie Ш dont les objets sont les ensembles [m] = (0,1,..., m), m ^N ( tiers naturels) et les cartes, les applications croissantes a: [m] -^ [»]. Soient {Km)mear '^^^'^ famule d'ensembles disjoints, К le groupe libre gradué engendré par la réunion des K^, k. la catégorie dont les objets sont les K^ et les cartes les applications cp: K^ -> K^; les éléments de K^ sont appelés m-simplexes. К devient un complexe s. s. с lorsqu'on lui associe un foncteur contra- variant й; de Щ vers Ш tel que a;[m] = K^. Pour une carte a: [m] -> [»] de 91 et un élément -a e K^, on pose pour simplifier y.{(x) (a) — a oc. On note s^ l'appHcation [m-—1] -> [m] telle <ine f^ (j) ~j si j<i et =j-\-l si j"^ i et on fait de К un complexe en introduisant teur bord 8a = 27(— 1)» oeli (or Ç K^). On a une notion de carte d'un complexe s. s.c. dans xm autre qui permet de parler de la catégorie des complexes s. s. с Soit L un second plexe s. s. с défini par une famile iL^)mejsr et par un foncteur Ä. On définit deux types de duit de К par L. (a) Le produit cartésien К x L est un complexe s. s. c. défini par la famille {^т)тел OÙ. Mm ~ Куп X -Lto et par le foncteur it tel que u(a) (cr, т) = {a,r)oc = {a oc,r a) {a £ K^, r £ Ln, oc: [m] -> [»]). (bj Le produit tensoriel К (^ L est -an complexe (non s. s, c.) identique, en tant que groupe gradué, au produit tensoriel des groupes К et L; l'opérateur bord y est défini par ^(c (g) т) = ôcr 0 т + (— 1)* ст (g) er {a £ Kp, r£L). Les couples de complexes simpliciaux sont les objets d'une catégorie 2C produit par elle-même de la catégorie des plexes s. s. c. et les deux produits sont des foncteurs de 2t vers 8®. Le théorème fondamental affirme que ces foncteurs sont homotopiquement équivalents, c'est-à-dire qu'il existe des cartes j: KxL->K<S>L, g:K<^L-^KxLet des homotopies D de gf к l'identité et В de f g à l'identité. Ces cartes et homotopies sont construites par application du théorème fondamental d'Eüenbeig-MacLane et se réduisent en dimension zéro à f{o,r) = a ® r, g{a 0r) = (сг,т), I>(g, r) — 0, E{<x <St r) — 0. On démontre notanmient comme applications: l'équivalence homo- logique du complexe singulier d'im produit d'espa<^ avec le produit tensoriel des complexes singuliers; l'équivalence homologique du nerf d'un produit de recouvrements avec le produit tensoriel des nerfs. P. Dedecker.

Borsuk , Karol : Concerning the homological structure of the functional space S^.

Fmdamenta Math. 39, 25—37 {1953).

The ^-dimensional true cycle y in Ж is named spherical if it is homologous to the image of a cycle of the fc-sphere ; it is named spherically essential if a mapping of M in the Ä;-sphere exists such that the image of y is non homologous to zero.