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Sehäfke , Friedrieh Wilhelm: Verbesserte Konvei^enz- und FehIerabs«hâizQn- gen fur die Störungsreehnung. Z. angew. Math. Mech. 33, 255—259 (1953).

In einem komplexen linearen Еашп В mit einem Skaiarprodnkt </, g) zweier Elemente /, g liege die Eigenwertaufgabe (1) J'y + Я^ + /fG^ = 0 vor. Dabei sei X Eig^iwert, ц meter, у Eigenlösimg, F mad Q lineare Operatoren, jP*zuJ'ad|migiert, ||<л«|]^у(||«||, П^иЦУ mit einer für 0 ^ i, 7] stetigen, für 0 < |, îj positiven, doppelt monotonen, vom 1. Grade genen Fimktionen y{|, rj). Es wird eine Theorie entwickelt, die bezüglich kontimiieriicher tren nicht so allgemein wie die bereits vorH^ende Theorie bei selbstadjungierten Operatoren des HilbertBchen Ramnes ist, die aber bei wenigen, praktisch leicht nachprüfbaren Voraas- setzmagen (nicht einmal das imgestörte Problem braucht selbstadjimgiert zu sein) mit geringem Aufwand vielfach schärfere Abschätzungen liefert. Bei (1) wird vorausgesetzt: Es gebe eine ganze Funktion Л (Я, fi) derart, daß А (Я, p,) = 0 für ein Eigenwertpaar Я, ii charakteristisch ist; für /i = 0 gebe es höchstens abzählbareviele Eigenwerte Я„ mit zugehörigen 2/„; ^ sei dann -P* ^* + К У* nichttrivial lösbar, y^, yZ ein normiertes Biorthogonakjrstem, und es gelte eine verallgemeinerte Vollständigkeitsrelation yS^^ |(/,«/*)p ;^ (/,/) ^ «2^ j(д y*-^j2 {^r jed^

n n

fQ . B , mit Q < ß<.(x<. oo; dann ist Л (Я, /*) = О um Я = Я^, /* = О durch eine Potenzreihe

oo

Я „ (u) = У" Я,й, и* darstellbar, die mindestens für \n\<Qm konvergiert, und es ist dort

\^m { p ) — ^m<,\< dmß. Zu p, mit ]pi\<Qm gibt es außer K„^{p) keinen weiteren Eigenwert noit

d °° /d \^

\^ - ^m\<^ - Für die Koeffizienten gilt ^ \K^\ gj'^^i-f) ; es wird eine Fehler-

p absdhätzung für Яда(/г) — ^ Я^ь/**= aufgestelltimdmitdenenvonRellich,vonSz,-Nagy,

J . Schröder am Beispiel der Mathieuschen Diffenrentialgleichimg verglichen. L, Cdlatz.

Kato» Tosio: Perturbation theory of semi-bounded operators. Math. Ann. 125, 435—447 (1953).

In the perturbation theory of operators one has considered mostly (Rellieh, Sz.-Nagy, Heinz, etc.) the so-called regular case, in which the eigenvalue and eigenvectors are, under some general conditions, proved to be regular functions of the perturbation parameter e, thus being developable into a power series of e with positive convergence radii of which at least a rough estimate can be given. In the non-regular case only asymptotic expansions may be given [see : T. Kato : Progress theor. Phys. 5, 95—101, 207—212 (1950) and this Zbl. 45, 216; E. С Titchmarsh, this Zbl. 35,180 ; 41, 221]. The present paper deals with the non-regular perturbation problemof a semi-bounded operator Я^, formally defined by H -\- eV, no assumption being made as to the „smallness" of the perturbing term F with respect to the perturbed operator H, instead it is supposed that H and V are (not necessarily closed) symmetric operators with the common domain ® dense in the (separable) Hubert space ^, and that H'^I and V^O m %. H^ (for £ ^ 0) andT^ are then fined as the (uniquely determined) self-adjoint extensions in the sense of Priedricbs; of the semi-bounded operators H -{• sV and F, respectively (see K.Friedrichs, this Zbl. 8, 392). It is shown that the domain of the pmitive self-adjoint square- root of H^ is, for £ > 0, independent of e: ЩН}1^) = %^^^ (s > 0). Denoting by JEeiX) the resolution of the identity of He, it is shown that Ee{X) -» Е^(2,) (£ -> -f 0) for all Д except at most the eigenvalues of Hq. Suppc^e in the following, that at least the lower part of the spectrum of Äq is a pure point s^etrum consisting of isolated eigenvalues of finite multiplicity; let Àq be one of thee eigenvalues, with multiplicity m. It is proved that in each neighborhood A of Zq, containing no other point of the spectrum of H^, the spectrum of Hg <M>nsists of eigenvalues with total multiphcity m, provided e is suffiei^itly small, and the <^ripesponding spectaral projector Ee0) convolves imiformly to Éq0) for £ -> + Ô. — In partieular, if 2^ is simple (m == 1), then there is a simple eigenvalue Д« of Jï^ i» Л (amé Ф^т aï^e во other points of the spectrum of Ее in Л). Sup^^e tàat the eigenvector ç?^ еопе- sponding to the eigenv^ue Àq of Mq, is cxmtmaed in %^fK TImn щ is contAÎned «too in tie domain of F|/2 ^^^ ^^ bave Д« = Д^ -f £ Д' -f o(e) шел Л' = H^^^^^efP*