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Mohr , Irast: Ei» elemeatarer Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra im Reellea. Ann. Mat. pura appL, IV. Ser. 34, 407—410 (1953).

This note contains an elementary решу! of the fundamental theorem of algebra.

E . Frank.

Parodi , Maurice: Sor une propriété des polynômes récurrents. С. г. Acad. Sei., Paris П7, 1304—1305 <1953).

Let P^{x) be polynomials defined by the recurrence relation fj^{n-\-l)P^{x) + [Ф{п) - X] Р^_^{х) + f^in) Р,_^{х) - О, n^l, Po = 1, P_i = О, Ф(к) ^ О for every integer к. If fjik) and f^ik) have the same signs for every integer k, the nomials P„(x) will have the same zeros as the polynomials Q^{x) defined by the recurrent» relation

\f^ ( n + l)j Q^{x) + [Ф(п) - X] Q^_T^{x) + %{п)\ Q,_^{x) = 0, % ^ 1, Qq = 1, Q_i = 0. In particular, if Ф (&) = 0 for every k, this result reduces to the known property of the P^{x) that all their non-zero zeros are symmetric with respect to the origin. E. Frank.

Colucei , Antonio: Genemle maggiorazione dei polinomi e delle derivate e una sua eonseguenza. ВоЦ. un» mat. ItaL, III. Ser. 8, 258—260 (1953).

Einfacher Beweis der Abschätzung: |P^*> (г)] ^ fc! ( ^ j \'Pn.n\ (\^\ + qY~^' wo

P^ { z ) = p„ ,д2" + • • • + 3>^_iz -f f^Q ein Polynom ist, dessen Nullstellen absolut nicht größer sind als q und к — Q,l,. . .,n ist. Damit wird weiter gezeigt, daß die

oo

Reihe ^ a^Pj^{z) im Innern des Ejreises vom Radius R — q analytisch ist, wenn Hm \a^Pn.n\^^^ = ^~^ <^~■^ ist. • O. Volk.

Novoselov , V. S.: Notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß die Wurzeln eines Polynoms nicht-positive Realteile haben und die Vielfachheit der sehwindenden und imaginären Wurzeln eine gegebene Zahl nicht übersteigt. Mat. Sbornik, n. Ser. 33 (75), 215—218 (1953) [Russisch].

Sei f(x) das vorgelegte Polynom vom Grade n. Die Bedingungen des Titels der Arbeit mit v als größter Vielfaehheit sind dann imd nur dann erfüllt, wenn für jedes € > 0 das Poljmom

Fv iy) - fiy) + e f'iy) + . . . + {^Iv !) /<-) iy) nur Wurzeln mit negativem Realteil hat. Auf dieses Polynom können demgemäß die Hurwitzschen Determinantenkriterien angewandt werden. Für den Fall plexer Koeffizienten wird von einer von Öebotarev imd Mejman (Das Routh- Hurwitzsche Problem für Polynome und ganze Ptmktionen, Moskau 1949, dies. Zbl. 41,198) angegebenen reellen Form der Hurwitzschen Matrix Gebrauch gemacht.

H . Schtverdtfeger.

Cremer , L.: Die Verringerung der Zahl der StabiUtätskriterien bei Voraussetzung

positiver Koeffizienten der charakteristischen Gleichung. Z. angew. Math. Mech.

33 , 221—227 (1953).

n Damit eine reelle algebraische Gleichung ^ a^ x^-" = 0 mit % > 0 nur

Wurzeln mit negativen Realteilen habe, ist nach Hurwitz [Math. Ann. 4в, 273— 284 (1895)] notwendig und hinreichend, daß alle Hauptunterdeterminanten Hji ifz=^l,%,. .., n) der {n, »)-Matrix (c^^) mit c^^ = ^zt-i {i,j = l,--','n;ap = ö für V >n und V <C0) positiv sind, unter Verwendung der notwendigen setzung, daß mit % > 0 auch аИе übrigen Koeffizienten pc^itiv sein müssen, zdgt Verf. mit Hilfe eines Satzes von Orlando [Math. Ann. П, 233—245 (1912)] und den Kriterien von Routh, daß es hinreicht, nachzuweisen, daß entweder nur die JSp mit geradem /* oder nur diejenigen mit ungeradem p, pc^itiv and. Wird noch JH"^ = Uq g^etzt und in Ше Folge der Ж^, mit geradem fi mit aufgenommen, dann фЬ> folgenée Z^chenregel : Die Anzahl der konjugiert komplexen Wuxzelpaare mit