10

Es sei G ein Gruppoid und a eines seiner Elemente. Verf. nennfc dann rechtes (linkes) quasi inverses Element von a ein Element a' (a) derart, daß {b a) a' = Ъ {'а (а b) = b) für jedes Element Ъ von G. Auf Grund dieser Definition werden drei Gruppen voneinander unabhängiger Postulate für Gruppen und vier für Abelsche Gruppen aufgestellt', wobei hervorzuheben ist, daß genannte Postulate nicht das Einheitselement benötigen. Л. Permutti.

• Kurosch, A. G.: Gruppentheorie. Mit einem Anhang von B. H. Neumann. (Mathematische Lehrbücher und Monographien. I. Abt. Band III.) Berlin: demie-Verlag 1953. XI, 418 S. DM 28,—.

Dieses Buch ist die erste deutsche Übersetzung der 1944 erschienenen I.Auflage des in Rußland erschienenen, grundlegenden Werkes des Verf. Über die hohe QuaUtät der Arbeit braucht man angesichts des Namens des Autors, der ja selbst durch eigene Forschungen viel zur Bereicherung der Gruppantheorie beigetragen hat, kein Wort zu verlieren. Bedauerhch ist nur, daß es dem Verlag nicht möglich war, der Übersetzung die inzwischen erschienene, terte 2. Auflage (dies. Zbl. 57, 18) zugrunde zu legen. Dagegen ist ein in der russischen gabe nicht enthaltener, außerordentlich wichtiger Anhang von B.H.Neumann beigefügt. An Kenntnissen setzt das Buch bei dem Leser nur voraus : Elemente der höheren Algebra, mentare Zahlentheorie imd Grundlagen der Mengentheorie. Der Leser wird in fast alle gebiete der Gruppentheorie eingeführt, nur drei Teilgebiete läßt der Verf. außer Betracht: die Theorie der endlichen Gruppen, die Gruppen, die durch definierende Eelationen erzeugt werden und die Darstellungstheorie mit der Theorie der Charaktere. Immerhin bringt das Buch auch aus diesen Teilgebieten gelegentlich Einzelheiten, z. B. Existenz von Sylowgruppen in endhchen Gruppen usw. Im ersten Kapitel werden die Axiome der Gruppentheorie behandelt, wobei § 4 der besonders wichtigen Axiomatik von Baer und Levi gewidmet ist. In den nächsten drei Kapiteln werden die grundlegenden Begriffsbildungen wie Untergruppen, Normalteiler, nierende Relationen, Automorphismen, Endomorphismen, Reihen von Untergruppen behandelt. Es folgt ein Kapitel über abelsche Gruppen mit endlich vielen Erzeugenden, dann die Theorie der direkten Produkte und die Theorie der Gruppenerweiterungen. In Kap. 7 werden die lösbaren Gruppen, die p-Gruppen und mit diesen zusammenhängende Fragen behandelt. Kap. 8 bringt die Theorie der primären abelschen Gruppen und die dahin gehörigen Sätze von Prüfer imd Ulm. Anschließend folgt im Kap. 9 die Theorie der torsionsfreien und gemischten schen Gruppen, wobei der Körper der ^s-adischen Zahlen eingeführt wird. Im 10. Kap. werden freie Gruppen und freie Produkte behandelt. Da die Theorie der Verbände für viele theoretische Untersuchungen in neuerer Zeit wichtig geworden ist, wird im 11. und letzten pitel ein Abriß der Theorie der Verbände gegeben und ihre Beziehung zur Gruppentheorie läutert. In einem Schlußwort gibt der Verf. nochmals einen großangelegten Überblick über die allgemeine Gruppentheorie, ihre Probleme und ihre Bedeutung in den verschiedenen Disziplinen der Mathematik. In einem Anhang gibt B. H. Neumann eine Theorie des verallgemeinerten freien Produktes (diese wichtige Begriffsbildung stammt von B. H. und Hanna Neumann), sowie von G. Higmann aufgestellte Beispiele von Gruppen, die mit einer ihrer echten Faktor- gruppen isomorph sind. —Das Buch bildet offenbar nicht nur eine sehr erwünschte Bereicherung unserer gruppentheoretischen Literatur, es erfüllt sogar ein vorhegendes Bedürfnis, indem es eine Vielfalt von Material, die man bisher in einzelnen Abhandlungen verstreut suchen mußte, geordnet und im Zusammenhang vorträgt. O. Qrün.

Kaloujnine , Leo: Über gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppe und ihren Automorphismen. Ber. Math.-Tagung, Berlin 14.1.-18.1.1953, 164—172 (1953).

Щ sei eine Gruppe, % eine Automorphismengruppe von @. Verf. bezeichnet die Gruppe aller unter % invarianten Elemente Ç @ ab das 3t-Zentrum 3(@; ЭД) von %. Ist % die Gruppe der iimeren Automorphismen von @, so ist 3(@; 91) das Zentrum von @ im übhchen Sinne, so daß also obige Begriffsbildung als Verallgemeinerung des Begriffes des Zentrums angesehen werden kann. Entsprechend wird der Begriff der Kommutatorgruppe von ® veraUgemeinert: die von allen o* ■ a-i, a Ç ®, a € St erzeugte Gruppe heiße die 2l-Kommutatorgruppe й{^;%) von @; wenn % die Gruppe der iimeren Automorphismen von ® ist, so ist £(@; Ш!) die gruppe im übUchen Sinne. Beide neuen Begriffsbildungen können offenbar dazu benutzt werden, die Begriffe der auf- und absteigenden Zentralreihen von ® entsprechend zu verallgemeinem. In @ sei eine Kette von Untergruppen @ = §o2 §i 2 • • • 2 §« = 1 gegeben; m heiße die Länge der Kette. In der Automorphismengruppe von @ sei % die Untergruppe derjenigen Automorphismen, die für jedes i = 1, . . .,m jede rechte Restklasse von ^i-x/^i (™i<l dann ako auch jede linke) invariant lassen; % werde als die Stabilitätsgruppe der Kette ^q, ^, ..., ^m und mit Stab. (@ = §o 2 |>i 2 • • • 2 §^ = 1) bezeichnet. Für jede Untergruppe ® von % = Stab. (@ = ^0 2 • • • 2 1^ = 1) heiße die Kette @, |)i,. . ., ^« eine g-Zentralreihe. Ist % die Gruppe der inneren Automorphismen, so ist die zugehörige Kette eine atifsteigende tralreihe im übhchen Sinne. Entsprechend erhält man die verallgemeinerte absteigende Zentral-