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j^ ( ~ M ia^^ *^ wobei /a = Vektor/jjifaV wenn (ос) die a-te Ableitung nach Parametern bedeutet. Die Anwendung der vorliegenden |fethode auf Funktionen, -die in den isoperimetrischen Aufgaben vorkonimen, führt sogleich auf die Lagrange- sehe Multiplikatorregel als eine naturliehe Vermutung. Die Tatsache, daß die Euler- schen Gleichungen der Variationsrechnung als Extensor-Gleichungen dargestellt werden können, gewährleistet natürlich, daß die Methode auch auf jedes Problem der mathematischen Physik anwendbar ist, das als ein Problem der nung formiert werden kann. Z. B. haben wir für Probleme der Variationsrechnung von der Gestalt j F{x, x') dt unter der Bedingung j G{x, x') dt = к (konst.) die primären Extensoren F.^a, F^, G.^m, G^ {M = 1) der Funktionen F und G. Dann sind die Extensor-Gleichungen A F;Qa + jBi^-i« + СG.^oa + DG\ia — 0, ^ ^;ia + ^-^;ia + G G,xa + DG.^ia = 0, wobei A, B, C, D Konstanten sind, die aus der zweiten Gleichung bestimmt werden; d. h., wenn В Ф 0, dann А = -~ B, С = —D, also — (F + CG);oa + {F -^ СG)\ia = 0, und diese sind nichts anderes -als die Eulerschen Differentialgleichungen für die Funktion F + С G, Ähnlich halten wir die Lagrangeschen Bewegimgsgleiehungen aus der kinetischen und tialen Energie g{x, x'), V(x). Verf. dehnt die Methode auch mittels des erweiterten Kawaguchisehen Satzes (dies. Zbl. 23, 169) auf den FaU mehrerer Parameter aus und wendet sie auf Variationsprobleme, d. h. isoperimetrische Aufgaben für fache Integrale, Maxwellsche Gleichungen im freien Räume usw. an.

A . Kawaguchi.

Bott , Baoul: Nondegenerate critical manifolds. Ann. of Math., II. Ser. 60, 248-261 (1954).

Die kompakte Mannigfaltigkeit M sei glatt eingebettet in eine offene Menge U •des E^\ alle Punkte von M seien kritische Punkte einer glatten Funktion J\IJ (.,glatt" bedeutet die Existenz und Stetigkeit der S.Ableitungen); die „nuffity" aller x^M sei gleich der Dimension von M. Es sei Jm bzw. Jm die Menge aller yÇ:M mit J{y)^J{x) bzw. J{y) <J{x) im xeM und Хм der Index der x^M. Verf. beweist für jede hinreichend kleine Umgebung V von M den phismus IIj^(Jm ГЛ V, Jm ^ V) f^ Щ-Хи W> ^^bei Hj^ die Ä;-te singulare logiegruppe mit Koeffizienten mod 2 bedeutet, und verwendet dieses Resultat für •die Berechnung der „circular connectivities" und der „sensed circular tivities" der w-Sphäre. (Für die Definitionen vgl. M. Morse, The Calculus of ations in the Large, dies. Zbl. 11, 28). G. Nöbeling.

lategralgleichuBgeB . integraltransformationen :

X / • TrieeuM, ïYa»eeseo ix.: Lezioni solle equazioni integrali. AI CoUega С Ago- stinelli in occasione del suo 60° compleanno. Torino: Editrice Gheroni 1954. 343 p.

Den Inhalt des Buches bilden Vorlesungen, die Verf. über Integralgleichungen an der Universität Turin gehalten hat. Im ersten Kapitel werden die gleichungen von Volterra, im zweiten und vierten die Fredhohnschen, insbesondere diejenigen mit symmetrischen Kernen und die klassische Theorie von Hubert und Erhard Schmidt, behandelt; dazwischen wird im dritten Kapitel eine Darstellung der Theorie der orthogonalen Funktionen gegeben. Das ktzte Kapitel bringt gulare Integralgleichungen (z. B. die Tragflügelgleiehung, (Ьг1едшп8сЬе Gleichungen) und nichtlineare Integralgleichungen nach Hammerstein. Zahhreiche gen und jeweils Übungsaufgaben am Ende emes Kapitels erhöhen den Wert des Buches: O. Volk.

Chang , Shih-Hson: Integral equations with normal kernels. Acta math. Sinica 4, 1—16 und engl. Zusammenfassg. 16—20 (1954) [Chinesisch].

Let the I^ integral operator k{x, y) have the „singular" values 1^, aad „singu-