283

habe ich auf den alten klassischen Ansatz der Exhaustionsmethode von Eudoxus zurückgegriffen, der mir anschaulich am zugänglichsten erscheint. Der begriff, mit dem ich operiere, ist dem Wesen der Sache nach das Int^ral einer stetigen Funktion über eine offene Menge ... Bei der Aufstellung der in den Lehrgang den klassischen Sätze habe sich mich zumeist bemüht, bis zu FormuMerungen zudringen, die in den Anwendungen besonders praktisch zu handhaben sind, und diœ auch dann, wenn die Durchführung des Beweises gegenüber dem sonst Üblichen größere Ergänzungen verlangte". — Im einzelnen ist der Aufbau folgender: 1. Kapitel: Ergänzungen zur Integrationstechnik (Partialbruchzerlegung, Int^a- tion der rationalen sowie algebraischer und transzendenter Funktionen). 2. K^apitel: Definition und Existenz des Flächenintegrals über achsenparallele Rechtecke R für in i? — ^ stetige, gleichmäßig beschränkte Integranden /, wobei N eine ( Jordan- sche) Nullmenge ist. Darstellung eines solchen Flächenintegrals als iteriertes (Doppel-) Integral (wobei hier dem Integranden zusätzhche Bedingungen auferlegt werden). Verallgemeinerung auf beschränkte Integrationsbereiche, deren Begrenzungen mengen sind, sowie auf den Fall des euklidischen %-dimensionalen Raumes (% > 1). Diskussion dieses verallgemeinerten Integrals für n= 1 (partielle Integration, Transformation der Integrationsvariablen, 2. Mittelwerteatz usw.) und für w = 2. — S.Kapitel: Berechmmg mehrfacher Integrale: Linienintegrale für n<.d; Beweis von // (/^ — g'^) dxdy=Jigdx + f dy) für Bereiche, deren Begrenzung aus lich vielen glatten Bogen besteht; Integration totaler Differentiale; substitution in Flächenintegralen. — 4. Kapitel: Anwendung mehrfacher Integrale: Oberflächenintegrale; Sätze von Ostrogradski und Stokes (auch in Vektor- sehreibweise) ; Volumina von Rotationsflächen, Guldinsche Regeln. — Eingehend werden sodann die einfachen und mehrfachen uneigentlichen Integrale behandelt; Gammafunktion (5. und 6. ICapitel). — 7. Kapitel: Fourierreihen und Fourierinte- grale (u. a. auch Orthogonalsysteme, Besselsche Ungleichung, Vollständigkeite- relation, Parsevalsche' Formel, Konvergenzdefekte bei Fourierreihen; Rayleigh- Plancherelsche Formel). Eine Fülle von höchst instruktiven Aufgaben beschheßt ein jedes Kapitel. Ein Sachregister von erfreuHcher Ausführlichkeit ist beigegeben. Der Name des Verfassers bürgt für Strenge und Eleganz der Darstellung. Nach Meinung des Ref. hat Verf. das Ziel, das er im oben zitierten Vorwort bezeichnet hat, mit diesem ausgezeichneten Buch in vorbildHcher Weise gelöst. Otto Haupt.

Moore , Marian A.: Approximations oî Ф-integrals by Rlemann and Darboux sums, and other contributions to the theory of Ф-integrals in general spaces. Revista Mat. Univ. Parma 5, 99—123 (1954).

Die Verf. beschäftigt sich mit der Übertragung einer Reihe von Ergebnissen aus kahn-Rosenthal, Set functions (dies. Zbl. 33, 53) vom Fall eines endlichen auf den eines sigma-endüchen Maßes und ähnlichen Verallgemeinerungen. Sie trachtet vor allem Approximationen des Integrals über einen metrischen Raum durch abzählbare Riemannsehe oder Darbouxsche Summen, die Höldersche gleichung und einige Konvergenzsätze. K. KrieJceberg.

Fiehera , Gaetano: Sulla derivazione delle ftmzioni additive d'insieme. Rend. Sem. mat. Univ. Padova 23, 366—397 (1954).

Sia Ф un anello [secondo P. R. Halmos: Measure Theory (questo Zbl. 40,168), p. 19] e siano oc, e fi rispettivamente una funzione finita non negativa finitamente additiva in ^ et una misura finita in <p. Denoti : Jj, la misura tr-finita nel più piccolo c-anello (secondo P. R. Halmos: loc. dt. p. 24) contenente ф, la restrizione della quale a ^ sia uguale a /j. (cfr. P. R. Halmos: loc. cit. p. 54); Op, per ogni Реф» l'insieme dele funzioni / non negativ« sonunabili rispetto a /г in P e taM che f fdjzKoc (X) per Р2Х£ф; F la funzione numeiicadefinita in Op assocmndo