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globale des connexions et des groupes d'holonomie" (Rome 1955). Si l'étendue des matières traitées n'a pas toujours permis de faire figurer 1^ démonstrations, le lecteur trouvera cependant dans ce cours une introduction de valeur aux méthodes de la géométrie différentielle et de la relativité, -P- Ldong-

Lense , Joseî: Zum Einbettungssatz der Differentialgeometrie. S.-Вег. math.- naturw. Ш. Bayer. Akad. Wiss. München 1953, 69—75 (1954).

Unter dem Einbettungssatz versteht der Verf. die Aussage, daß œ immer N ==^n{n-\- 1) analytische Funktionen ^^ der n komplexen Veränderlichen x" gibt, so daß identisch in den x" und daf die Beziehung

g^ , dx^daf=^ { di^ ) ^

bei vorgegebenen analytischen Funktionen д^.^ {x^,. . ., x^) gilt. Im Fall Rg (gr^.^) = n hat E. Car tan (1927) einen Beweis des Satzes angegeben, während ein beweis von M. Janet (1926), der keine Voraussetzungen über den Rang der zientenmatrix macht, unvollständig bHeb, da das Nichtversehwinden einer gewissen Determinante nicht allgemein geklärt werden konnte. Verf. beschäftigt sich mit dem Janetschen Ausnahmefall des identischen Verschwindens dieser Determinante für n — 2 und zeigt, daß dadurch unter den Flächen die isotropen Ebenen siert werden. K. H. Weise.

Ôtsttki , Tominosuke : Isometric imbedding of Riemann manifolds in a Riemann manifold. J. math. Soc. Japan 6, 221—234 (1954).

Verf . verallgemeinert die Ergebnisse von S. S. Chern und N. К. Kuiper (dies. Zbl. 52, 176) über die Einbettbarkeit einer kompakten Riemannschen Äfennigfaltig- keit in den euklidischen Raum auf die isometrische Einbettbarkeit in eine beliebige andere Riemannsche Mannigfaltigkeit. Er benützt hierzu Hilfsmittel, die S. B. Myers (dies. Zbl. 45, 110) entwickelt hat. Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit können hier nicht im einzelnen wiedergegeben werden. Es werde daher nur auf die folgende Aussage hingewiesen: Eine %-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, für die die Krümmung jedes Flächenelementes negativ ist, kann nicht isometrisch eingebettet werden in eine (2w — 2)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, für die die Krümmung jedes Flächenelementes nicht negativ ist. W. Rinow.

Nash , John: C* isometric imbeddings. Ann. of Math., II. Ser. Ш, 383—396 (1954).

Die Realisierung einer Einbettung einer gegebenen Riemannschen faltigkeit in einen euklidischen Raum hängt in hohem Maße davon ab, eine wie hohe R^ularitätsklasse der eingebetteten Mannigfaltigkeit verlangt wird. Es zeigt sich, daß im Falle, daß nur C^-Einbettung (d.h. von der Klasse C^) verlangt wird, die sion wides eukHdischen Raumes, in welchen die Einbettung erfolgt, bedeutend gesetzt werden kann im Vergleich zum allgemdnen FaU. Der Verf. behandelt den Fall, daß die eingeprägte Metrik der Riemannschen Mannigfaltigkeit von der Klasse CO ist, und versucht diese Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum E^ ten bzw. „einzutauchen" (imbedding bzw. immersion). Der letztgenannte Begriff ist gemeint im Sinne von H. Whitney (dies. Zbl. 15, 320). Negative Resultate bezüglich der Einbettung bei gegebener Klasse C* sind jüngst von Tompkins und Chern-Kuiper angegeben. Die verwendete Methode beruht auf den sukz^siven Perturbationen der erzielten Einbettung, und die unendliche Folge der Einbettung^ führt schließlich zu der gewünschten Einbettung. Der Verf. b^üent sieh dner Operation der „short imbedding", bei welcher die Abstände verkürzt wewien. Das Hauptergebnis der Arbeit ist in den folgenden zwei Sätzen enthalten: J^e schlossene F^ bœitzt eine isometeische O^-Einbettung in einen B^^. Jede F^ besitzt ein C4sometrisehfâ Eintauchen in einen E^^ und eine isometrische <7i-Einbettung in einen E^^,-,. S.ОЫф.