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( 2 ) Simons, WMiam H.: Coûgruences involving the partition function p (»).

BuU . Amer. math. Soc. 50, 883—892 (1944).

( 3 ) Lahiri, D. В.: On a type oî series involving the partition function with applications to certain congruence relations. Bull. Calcutta math. Soc. 38,125—132 (1946).

( 4 ) Lahiri, D. B.: On Eamanujan's function т (») and the divisor functionßjcin). I. BuU. Calcutta math. Soc. 38, 193—206 (1946).

( 5 ) Bambah , R. P.: Two congruence properties of Eamanujan's function г (n). J. London math. Soc. 21, 91—93 (1946).

( 6 ) Gupta, Hansraj: A congruence property of т(»). Proc. Indian Acad. Sei., Sect. A 24, 441—442 (1946).

( 7 ) Gupta, Hansraj: A note on the parity of jo(re). J. Indian math. Soc, ^n. Ser. 10, 32—33 (1946).

Identitäten und Kongruenzen für die zahlentheoretischen Funktionen pin) (Anzahl der Zerlegungen der positiven ganzen Zahl n in positive ganze den), G^{n) [Summe der fe-ten Potenzen der positiven Teiler von n\ ai{n) = о(n)] und r{n) [Koeffizient von ж** in der Potenzreihe für хП {1 — a;'*)^*]; n durchläuft hier und im folgenden alle positiven ganzen Zahlen. Resultate:

( 1 ) : G{n) = p{n— 1) -{- 2^(71 — 2) ~ 5p{n — 5) — lp{n — l) . . .;

o { n ) = a{n — 1) -p G{n — 2) — G{n — 5) — G{n — 7)...;

np { n ) = G(n) -]- p{l)G{n — l) + ^{2) G{n — 2) 4- ' • • -{-'p{n — l)G{l).

Beweise umständlich und nicht einwandfrei [Bern. d. Ref.: Die Resultate folgen unmittelbar durch logarithmische Differentiation von 77(1 — x^)"'^ =l-{- Up{n) x'^ =^ {1~ x—x^-\- a^-{-a;' .. .)~^]. (2): Kongruenzen modulo 13 und 17, welche den gruenzen modulo 5, 7 und 11 von Ramanu Jan [Collected papers, Cambridge 1927, S. 232] analog sind. Modulo 13 gilt z.B.: Der Koeffizient p{n — l) — p{n— 176) —

+ 00

p { n — 345) . , . von x"^ in x' {^ (— 1)*^ a;i69m(3m-i)/2j . ^i ^ £p{n) ж»} ist =

13« m=—<x)

—22^cr5 ( w ) 05 ( 137i —m)(modl3). (3): Г p{n — 1) + 2^p{n — 2) — o^'pin — 5) —

Tp { n — 7) . . . [Zahlen 1, 2, —5, — 7, . . . wie in (1)] ist für 1 ^ r^ 5 eine lineare Kombination von G2}c+i{n) {h=^0, l, . . .,r—l) mit Poljmomen fc-tenGrades in n als Koeffizienten. Für die Summe lam+b von denjenigen Gliedern ±p(n — r) aus der Reihe p{n) — p{n — 1) — p{n — 2) + p{n — 5) -^- p{n — 7) . . ., für die r die Form am-^-b hat, folgt dann für а = 2, 3, 4, 5, 7, 11 ; ô = 0, 1, . . ., а — 1 eine Kongruenz mod« mit einer linearen Kombination von gewissen Gr{n) und mit Polynomen in n als Koeffizienten. Aus diesen Kongruenzen folgen unmittelbar die Kongruenzen p{5m + 4) ^ 0 (modS), p(7m -f- 5) ^ 0 (mod7), ^(llm -f- 6) ^ O(mod 11) von RamanuJan. (4) : Durch systematische Durchführung einer Methode von Ramanujan werden 89 Kongruenzen bewiesen, wie z. B.

G^in ) = llG^{n) + 22G^{n) - 32сгз(%) (mod27 -З^ • 5 • 7 • 11). (5): Falls n = 2^ h, h ungerade, ist r{n) ^ 2^*"сГз(А;) (mod 32); für alle ganze tive n ist r{n) = nG^in) (mod 25). (6): Elementarer Beweis von r{n)^ Wff3(w) (mod7) [s. auch J.R. Wilton, Proc. London math. Soc, П. Ser. 31, 1—10 (1930)]. (7): p{n) = 2Jp{t) (mod2), wo summiert wird über alle positive ganze t von der Form |(2% — i^ — *), г ^ 0. H. D. Kloosterman.

Ikehara , Shikao: On Kalmâr's problem in „Factorisatio îïumerorum". II. Broc phys.-math. Soc. Japan, III. Ser. 23, 767—774 (1941).

Teü I besprochen in dies. Zbl. 21, 208. Es sei h{n) die Anzahl der Zerlegungen der positiven ganzen Zahl n in ein Produkt von Faktoren >1 (zwei Zerlegungen gelten nur dann als identisch, wenn sie dieselben Faktoren in derselben Reihen-