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der Form y'^ =^ x^ {m, n ganz) und der Form y^ = x^-\-ax^ + bx. Gestützt auf die Eigenschaften der Legendreschen Polynome ergibt sich: Es gibt zur wichtsfunktion 1 Systeme von ОЖ-Polynomen, welche auf beliebigen Teilbögen der betrachteten Kurven gleichmäßig beschränkt sind, wenn man die Umgebungen der Endpunkte ausschließt. Vermöge des bekannten Satzes von Korous (SZ, insbes. S. 157), den Jackson auf ОЖ-Polynome auf algebraischen Kurven tragen hat (dies. Zbl.60, 170, S.Referat), kann man zu allgemeineren funktionen übergehen. Ausdehnung auf spezielle Raumkurven {x = P, y — ^, z = f,'p,q, r ganz). Konvergenzfragen könnten mittels Äquikonvergenztheoremen erledigt werden. Für OiV-Polynome liegen solche bei Peebles (dies. Zbl. 20, 212) vor. Diese lassen sich erweitern: Un{x) sei eine Folge lin. unabhängiger Funktionen

n + m + ß mit Un-Um= 2 "^^b 0 ^ jS = ^(w, %) ^ Ж. Vermöge der щ werden zwei Systeme

г=1

konstruiert : w^ix) = ON{a, b;q{x) dx), v^ix) = ON{a, b;p{x) dx). qjp sei als Linearkombination der щ darstellbar und beschränkt. Dann sind die zu einer Funktion f{x) gehörigen 0-Entwicklungen nach den Vn bezw. w^ äquikonvergent, wenn für beide OiV-Systeme die Parsevalsche Formel gilt. — Dehnt man das Theorem von Korous (SZ, insbes. S. 157) aus, dann erhält man hieraus Äquikonver- genztheoreme für OiV-Systeme, welche z. B. ein Theorem von Szegö (SZ, insbes. S. 307) als Spezialfall enthalten. Es ergeben sich gewisse Zusammenhänge mit den erwähnten Untersuchungen von Peebles. (9)—(15): Systematisches und meines Studium der Vollständigkeit von OiV-Systemen (in Щ. Der wesentliche Inhalt des Satzes von Riesz-Fischer wird auf den Fall einer von einem lichen Parameter abhängigen Funktionsmenge übertragen. Zwecks Gewinnung gemeiner Vollständigkeitskriterien werden Funktionen G^{t) eingeführt, t^T, tQ

00

ein nicht zu T gehöriger Häufungspunkt, mit den Eigenschaften : 2J ^n it)<oo, \Gn{t)\ < K, MmGnit) = 1. Die G^{t) definieren ein Summations verfahren, welches ,,regulär" in bezug auf absolut konvergente Reihen ist. Sei g^ ~ ON{a,b;dx).

n

Es gut nach Riesz-Fischer 1 j 2^ ö^ (i) ог^ (ж) grj. (2/) — X (ж, г/, ^) Ц -> 0 f ür passendes

K { x , y,t). Dieser so definierte Kern К spielt fernerhin eine wichtige Rolle. Eines der einfachsten Kriterien: g-^ix) ist genau dann vollständig für f{x)€:Iß, wenn

b

f K{x,y,t)f{y)dy = 0 {t&T) für fast alle x. [Verf. betrachtet tatsächlich

а

komplexwertige Funktionen und OiV-Systeme über behebigen meßbaren Mengen.] — Eine Umformung des Vollständigkeitskriteriums von Vitali [Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sei. fis. mat. natur., V. Ser. 30, 498 (1921)] [vgl. auchKS, insbes.

s . 95]: Sei g^ = ON{a,b; dx), (Tni^) = JJ дЛ^) JgAt)dt. \\а^-Щ-^0 ist

r=0 а

notwendig und hinreichend für Abgeschlossenheit in L^. — Durch Integration entsteht aus dem Kriterium von Vitali ein weiteres für Iß notwendig und reichendes (was sehr einleuchtend ist). Anwendung auf Jakobipolynome und Dinireihen. Eine weitergehende und präzise Fassung neuerdings bei Graves (dies. Zbl. 46, 294). Daran schließt an Rudin, dies. Zbl. 51, 49. — Aus der keit der Parsevalschen Formel für ON(—h, h; аа{х)), [a(oo) — a{x) = ix{—x)} folgt die für ON{0,h^2da{x^l^)) und ON{0,h^,2x dcc{x4^)). Anwendung auf Hermite- und Laguerre-Polynome. Sei gn{x) — ON{a, b;dx) und hn{x) ein Paar

b

n - te Eigenfunktionen der konjugierten Integralgleichungen :g{x) = Àj K{x,t)hit)dt, b an

h { x ) = À f K{t, x) g{t) dt mit stetigem Kern K{x,t). Sei Sn(^) = ^%Ö'i(aj) mit

a i=l