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Abbüdung von Operationen an Funktionen durch die Laplace-Transf ormation und Ausrechnung spezieller Laplace-Transformierter. G. Doetsch.

Shastri , N. A.: Some theorems in operational calculus. Proc. Benares math. Soc, п. Ser. 7, 3—9 (1945).

Ausrechnung von Laplace-Transformierten vermittels Whittakerscher tionen, ö- Doetsch.

Blanc , Charles: Sw le calciü des transformées de Laplace de certaines tions. Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof. Br. Andreas Speiser, 105—110. Zürich: Füssli 1945. oo

Auswertung von Laplace-Integralen f e-'^F{t)dt, wenn F{t) eine Treppen-

0

funktion ist, mit Anwendung auf Differentialgleichungen, deren Lösung in wissen Punkten eine unstetige Ableitung besitzt. 0. Doetsch.

Parodi , Maurice: Sur la transformée de Laplace de la fonction ö(t) de Dirac.

Eevue sei. 82, 105 (1944).

Verf . weist auf gewisse Schwierigkeiten hin, die bei der Integration der Dirac- sehen Funktion auftreten. G- Doetsch.

Erdélyi , A.: Inversion formulae for the Laplace transformation. Philos. Mag., VII. Ser. 34, 533—537 (1943).

Es wird (ohne Beweise) eine Methode zur Grewinnung von Umkehrformeln

oo

für die Laplace-Transformation g{s) = f e-»^ f{t) dt angegeben. Es wird z.B.

n 0

l — 2e-^ = X, Pn{x) =21dy^e-^'- (Legendresches Polynom), b^ = (2w + 1) •

n m==0 oo

2 ^ш9Ф +m) gesetzt. Dann ist j{t) = e<*-^>*2^ Ъп Pn{x). Die Koeffizienten Ъ^

hängen nur von den Werten von g in einer arithmetischen Progression ab.

G . Doetsch.

Erdélyi , A.: Note on an inversion formula for the Laplace transformation.

J . London math. Soc. 18, 72—77 (1943).

ОС

Es sei (1) g (s) = J e-^^ f{t) dt. Um eine Umkehrformel abzuleiten, die nur

0

die Werte von g{s) in einer abzählbaren Punktmenge benutzt, werde die Folge

von verschiedenen komplexen Zahlen Я^ mit ШАп> 0 so gewählt, daß

- y]^^'nlß + \^n\^) divergiert. Dann ist die Folge (e""''*} vollständig und abgeschlos-

Л -X t

sen in i^(0, oo). Man kann aus ihr eine orthonormale Folge çpn=^ 2j ^шп^ ""

bilden . In bezug auf sie hat j{t) formal die Fourier-Entwicklung '"^^^

oo cxj oo rt oo _j oü » _ _

( 2 ) f{t)=^Z<Pn{t)Ifi*)9At)dt=2^(Pn{t) 1;ъ„.п1 i{i)^ "• dt=2;(pAt)2c^ng{À^)-

n=0 0 M=0 ш=0 0 й=0 m=0

Dies ist eine Umkehrformel, die nur die Werte von g an den Stellen À^ benutzt. Setzt man (2) in (1) ein, so ergibt sich:

( 3 ) 9-(«) = 2" / e-'^ (pn(t) dt 2 Cm« gi^^m) = 2" 2" -TZTT 2<^шпдßm),

was eine Interpolationsformel für g{8) darstellt. Beschränkt man sich auf tionen /(0 aus ^2(0,00) und demgemäß auf Funktionen g{s), deren integral auf den Vertikalen der rechten Halbebene beschränkt ist, so läßt sich diesen formalen Entwicklungen eine effektive Bedeutung geben in dem Sinn, daß die Partialsummen von (2) im quadratischen Mittel über (0, oo) gegen jit) konvergieren und daß (3) für Ш s > 0 gegen g{s) konvergiert. G. Doetsch.