On remarque qu'on peut donner les démonstrations sans avoir recours au théorème de Zermelo et que ce travail contient la démonstration du fait que tout anneau du type ell est, en même temps, anneau du type si, problème que V. Le mm le jn a proposé sans avoir la solution (ce Zbl. 56, 264). C. P. Popovici.

Beyer , Gudrun : Erweiterungsproblem galoisscher Körper und Zerfall einfacher Algebren. J. reine angew. Math. 195, 215—220 (1955).

Es sei 9Î ein Normalteiler einer endhchen Gruppe & und g die Faktorgruppe @/9î. Schließlich sei ÜIQq eine galoissche Korpererweiterung von nicht m der Ordnung von Ш aufgehender Charakteristik mit der Galoisgmppe g und N bezeichne den dann halbeinfachen Gruppenring von Ш über ß. Der fur die Einbettungstheorie scher Algebren wichtige verschrankte Gruppenring von & mit üjü^ ist diejenige Algebra G, die über Q die Elemente aus @ als Relativbasis besitzt und in der das Rechnen durch die Vorschrift a S = S a^ (fur alle a aus ü und alle S aus &) erklart ist, wo s die Restklasse von S mod 9Î bezeichnet. In emer früheren Arbeit (dies. Zbl. 57, 29) hat Ref. das Zerfallen von G durch die Existenz einer zu g isomorphen Relativbasis von G über N definiert. Verf. weist die Übereinstimm^ung dieses maleren Zerfallsbegriffs mit einem mehr inhaltlichen von W. Je h ne (dies." Zbl. 48, 26) eingeführten Zerfailsbegriff nach, der seinerseits fur die Spezialfälle, daß ^ abelsch ist oder daß ü die absolut irreduziblen Charaktere von Ш enthalt, das gewöhnliche Zerfallen der Algebra G über ihrem Zentrum bedeutet. — Als Folgerung ergibt sich ein strukturtheoretischer Beweis eines Eindeutigkeitssatzes, fur den Verf. bereits früher (dies. Zbl. 55, 267) einen rechnerischen Beweis gegeben hat. P. Wolf.

Robinson , Abraham : On ordered fields and definite functions. Math. Ann. 130, 257—271 (1955).

Eine Anwendung des Pradikatenkalkuls auf die Theorie der formal-reellen Korper und der defmiten Punktionen. Eine Aussage

X= { Xj ) • ■ ■ (xj (3 г/j) • • • (a Уп) ^ i^v • • •' ^ш> Vv • • •' Уп) des Pradikatenkalkuls heiße ein (^jE)-Axiom, wo Z quantorenfrei ist. Verf. beweist zunächst folgendes Einbettungsprinzip (E. P.) : Zu emem Modell (einer Reahsierung) M eines (^^)-Axiomensystems К existiert stets eine Erweiterung von Ж, die außer К noch X erfüllt, wenn nur fur alle {%,. . ., a^} С M diejenigen Erweiterungen von M existieren, die außer К noch (Я Уг) ■ • ■ (Я у J Z (a^, . . ., a^; У1, . . -, Уп) erfüllen. Eine multiphkative Halbgruppe С ohne Null aus einem (kommutativen) Korper К heißt ein Kern (core) von K. Wenn aus einer behebigen Gleichung von

der Form ^ x^ y^ = 0 (и ist eine beliebige natürliche Zahl) stets ?/^ = 0 (г = 1,...

г = 1

. . .,п) folgt, WO x^ÇiC und y^^K (i = 1, 2, . . ., n) sind, so heißt К C-formal- reell (C-f. г.). (Ein gewohnlicher formal-гееЦег Korper ist ein C-i. r. Korper mit C = {1}.J Em Korper L heißt quadratisch-abgeschlossen (q.-ab.), wenn fur em behebiges x aus L mindestens eines der Elemente x und — x Quadratelement aus L ist. Ist ein Element d aus einem C-f. r. Korper К niemals von der Form — d :=

y ; a, 6,2 (a Ç C, b^e K), so kann man mit Hilfe des E. P. die Existenz einer

C - f . r. Erweiterung von К beweisen, welche q.-ab. ist und yd enthalt. Ein q.-ab., C-f. r. Korper К laßt sich stets so anordnen, daß alle und nur die von Null denen Quadratelemente aus К positiv sind ; bei dieser Anordnung von К wird jedes Element aus С positiv. Umgekehrt ist ein angeordneter Korper К mit С als Kern, in dem jedes Element aus С positiv ist, sicher C-f. r. Ein Element а aus einem Korper К mit С als Kern heißt C-total-positiv, wenn а für alle diejenigen Anordnungen von к positiv bleibt, nach denen jedes Element aus С positiv ist. Verf. meinert den von Hilbert, Landau und Arti n bewiesenen Satz auf folgende Weise: Ein Element а Ф 0 aus einem C-f. r. Korper К ist dann und nur dann C-total-