Magnus , Wilhelm: Infinite determinants associated with Hill's equation. fic J. Math. 5, Suppl. II, 941—951 (1955).

00 oo

Seien ^ jf,j] < oo, q{x) = 2 ^ t^coQ^nx und y^i^), Vzi^) die Lösungen

w=l n—1

der Hillschen Differentialgleichung y" + 4(ft>2 _|_ q{x)) y = 0 mit y-^iO) = 1, г/^(0) = О, г/2 (0) = О, y'ziO) = 1. Ist Dq{co) = \d^m\ die Hillsche Determinante der d^rn = ^nm + i}\n-m\\{f^^ - »*^)) (w, Ш = 0, ± 1, ± 2, . . .), «о = 0^ so gilt nach Whittaker-Watson (A course of modern analysis, Cambridge 1927) î/j(jr) — 1 = — 2Do(cf>) sin^ 71 CO. Verf. betrachtet analog die Hillschen Determinanten (einem cos- bzw. sin-Ansatz für y entsprechend)

C + = \{e^ sj-y^ (1 + sgn n sgn m) [0^^ -f (г|„_^| + t,^+J (ш^ - и^)-!] [ {n, m = 0, 1, 2,. . .) und Ä+ = |d„^ + (^|„_^| - «^+J (ft)2 - n^)-i\ {щ w = 1, 2, 3,...), wobei £0=1' £i = «2 = ■ ■ • = ^' sgï^ 0 = 0, sgn 1 = sgn 2 = • • • = 1. Er zeigt die Relationen 2со sin {лю)С^ = — y^ (Jл), co""^sin (лсо) S_^ = 2 y^ (|- л), Dq= C+ S+.

— Sei im folgenden schärfer ^ rfit^ <.oo und у {x, со) die Lösung der Hillschen

Differentialgleichung mit уф,со)=а, y'(0,oj)^b (со reell). Dann gibt es, wie Verf. zeigt, eine Funktion G{x,d), definiert für reelle x, ê mit j^j ^ \x\, derart,

daß 2/(a;, ft)) =acos2ft)a;+ f G{x,'&) ^i^^ de, G^^ - G^ + Aq G = 0,

— X

G { x , x)=G{x, —x) = ^b — a ^-^sin 2nx, G^ {x, x) = — G (x, — x) =

n=l

OO , h \ oo j j.

2 ^ t^ sin nx \a sin nx -\----cos nx\ -\- a ^ -^-^ sin 2nx sin 2mx.

n = X ' ' n,m = l

— Die Beweise stützen sich auf Wachstumsabschätzungen bezüghch со, Sätze ganze Fimktionen von endhcher Ordnung und einen Satz von Paley und Wiener über die Darstellbarkeit solcher Funktionen durch Fourier-Integrale.

F . W. Schäße.

Dikij , L. A.: Über die Asymptotik und einige Identitäten für die funktion des Sturm-Liouvilleschen Operators. Doklady Akad. Nauk SSSR 104, 687—690 (1955) [Russisch].

Let the operator A и = — и" -\- p (x) и, ад' (0) == О, О < а; < со, where р{х) is infinitely differentiable, be hypermaximal and have a positive spectrum. Let co(x, z) be the solution of A со = z o) such that co{0,z) = 1, ft)'(0, z) = 0. Define the „spectral function"

t в(х, у, t) = f со{х, X) co{y, X) dqiX).

The author asserts two types of approximation between в {x, y;t — 1) and a sum ^ r^ f-»+i/2. Denoting the difference between them by r] {x, y; t) the second result

и = 0

is lim / (1 — tlT)^+^ i*-i rj (x, y; t) dt — 0, (x, у Ф 0). An outhne proof is given,

T - ^oo 0

utiMsing the study of A over (0, T) and the „zeta-function" defined for 91 (s) > |

^y / (^ + 1)~* ^0 (x, y;t). The other result, apparently to be proved analogously^

states that M^+^ rj {x, y;t) =0 {t-^-^i^+^), where the averaging operation M ia

given by M fix) = xr^ J f {t) dt. F. V. Atkinson.