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€ernikov , S. N.: Über die Ergänzbarkeit der Sylowschen ZT-Untergruppen in gewissen Klassen unendlicher Gruppen. Doklady Akad. Nauk SSSR 102, 457—459

( 1955 ) [Russisch].

Voranzeige der in dies. Zbl. 65, 259 besprochenen Arbeit.

Baer , Reinhold: Auflösbare Gruppen mit Maximalbedingung. Math. Ann. 129, 139—173 (1955).

Nach A. I. Mal'cev (dies. Zbl. 43, 23) genügt eine auflösbare Gruppe ßj (genau dann) der Maximalbedingung, wenn ihre abelschen Untergruppen endlich erzeugbar sind. Da Mal'cev zum Beweise einen Satz über kontinuierhche Gruppen benutzt^ gibt Verf. einen Beweis, der die topologischen durch ringtheoretische Hilfsmittel ersetzt. Eine Gruppe Щ heißt auflösbar, wenn jedes von 1 verschiedene homomorphe Bild @ einen von 1 verschiedenen abelschen Normalteiler besitzt. Eine Gruppe @, die der Maximalbedingung genügt, ist genau dann auflösbar, wenn eine ihrer leitungen die Einheit ist. Dies legt nahe, die Aussage des Satzes von Mal'cev zu zerlegen: Satz A. Ist eine Ableitung der Gruppe & die Einheit und jede abelsche Untergruppe von @ endlich erzeugbar, so ist jede Untergruppe von & endlich zeugbar. — Satz В. Ist die Gruppe @ auflösbar und jede abelsche Untergruppe von (S^ endlich erzeugbar, so ist eine Ableitung von ® die Einheit. — Der Satz А ergibt sich aus dem Satz, daß abelsche Automorphismengruppen endlich erzeugbarer abel- seher Gruppen endlich erzeugbar sind, dieser Satz wiederum aus dem Dirichletschen Einheitensatz. Der Satz В ergibt sich aus dem Satz А und dem Satz B' : Ist Ф eine auflösbare Automorphismengruppe der auflösbaren Gruppe & mit Maximalbedingung, so ist eine Ableitung von Ф gleich der Einheit, und jede abelsche Untergruppe von Ф endlich erzeugbar. Der Beweis dieses Satzes erfordert umfangreiche, in drei Teüe geghederte, auch für sich interessante Vorbereitungen: 1. Ein kommutativer Ring fft mit Eins hat endlichen Rang, wenn seine additive Gruppe 91+ torsionsfreie abelsche Gruppe endlichen Ranges ist. Ein Ideal ^ aus Ш ist endhchen Ranges, wenn der Restklassenring Ш/^ endlichen Rang besitzt. Ist dasNuIhdeal (0) aus Ш Durchschnitt endlich vieler Primideale endlichen Ranges, so sind Automorphismengruppe und Einheitswurzelgruppe von Ш beide endhche Gruppen. Nun sei Ж eine (additive) torsionsfreie abelsche Gruppe. Eine Automorphismengruppe Ф von 5Ï heiße primitiv, wenn 0 die einzige Ф-zulässige Untergruppe von Ш ist mit torsionsfreier Faktor- gruppe, dagegen semiprimitiv, wenn ein endliches System von 0 verschiedener Ф-zulässiger Untergruppen Uj, Hg, • • -, П^ von 91 existiert, deren Kompositum UUx in 91 als Faktorgruppe eine Torsionsgruppe besitzt, während Ф in jedem H« eine tive Automorphismengruppe induziert. Besitzt die torsionsfreie abelsche Gruppe 9t weiterhin endlichen Rang, so erzeugt jede abelsehe primitive Automorphismengruppe Ф von 9Ï einen Endomorphismenbereich von 9Ï, der ein Integritätsbereich endlichen Ranges ist. Ist Ф eine abelsche semipritnitive Automorphismengruppe von 9Ï, so ist die Torsionsuntergruppe von Ф endlich; femer besitzt Ф einen Zentralisator von endHchem Index in jeder Automorphismengruppe Г von 91, in der Ф normal ist. Jeder abelsche Normalteiler von Ф besitzt in Ф einen Zentralisator von endlichem Index. Eine abelsche Torsionsgruppe ?F aus Automorphismen von 9Ï ist daher eine endliche Gruppe. 2. Im Mittelpunkt des zweiten Teiles stehen Kriterien für die Existenz abelscher Untergruppen von endlichem Index in einer Gruppe @. Von den zahlreichen Ergebnissen können nur einige angegeben werden. Folgende schaften einer Gruppe @ sind gleichwertig :{!)& besitzt eine auflösbare sche Untergruppe von endlichem Index; (2) @ besitzt einen auflösbaren Normalteiler von endlichem Index ; ( 3) @ besitzt eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index ; (4) Jedes nichtendhche homomorphe Bild von Ш besitzt einen unendlichen Normalteüer mit endlicher Kommutatorgruppe. — Genau dann ist die Faktorgruppe ®/3(@^) nach dem Zentrum endUch, wenn der Kommutator @' endhch ist und ® eine abelsche Untergruppe von endlichem Index besitzt. — Genau dann besitzt & eine abelsche