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neben der allgemeinen Theorie nur die algebraische IQassifizierung des Homotopie- typs eines Raumes angibt, wird hier die Klassifizierung der Abbildungen men. Im ersten Teü der Arbeit wird nachgewiesen, daß man sich zur Klassifikation von stetigen Abbildungen eines beüebigen Zellkomplexes in einen linear hängenden Raum auf simpliziale Abbildungen semisimplizialer Komplexe mit sogenannten speziellen Homotopien beschränken kann. Die Konstruktionen werden hier in Anlehnung, nur sehr viel kompHzierter als im simplizialen Fall durchgeführt {simpHziale Approximation von Abbildungen usw.) Im zweiten Teil wird das so reduzierte Problem gelöst. Dies geschieht mittels der sogenannten Kozykloiden, die die Obstruktion einer Abbildung / verallgemeinern. Der Begriff der Kozykloiden geht aus von dem der ^-Erweiterung K' eines semisimplizialen Komplexes К (s. vorangehendes Referat). Sei fj,: K->L eine simpliziale Abbüdung eines simplizialen Komplexes К auf einen semisimphzialen Komplex L, und L' eine weiterung von L mit Faktor l, so daß ^/*Z = 0 für die Klasse von l oder aber /t* Z -j- Vd^ = 0 gdt. Sodann kann man die Abbildung fi zu einer Abbildung рь p! •.K^> L' erweitern. Sei jetzt % = (ö^, Ic^ ein behebiges System, N ein simplizialer Komplex und //j : iV -> Z" {G-^ eine Abbildung, die durch eine Kette (}- m'vß-lSI definiert wird. Man kann obiges Verfahren iterieren und erhält eine Folge von Abbildungen ц^: N-> K^_-y (@), derart, daß eine Folge {c^} mit 0 = Fc^ -f- /f* Ic^-^ existiert. Diese Folge (c"} ist das Kozykloid von 'N über dem System %. Entsprechend wird nun zu einer Abbildung / eines Komplexes 'N in einen plex K{%) ein charakteristisches Kozykloid definiert. Die beiden Hauptsätze der Arbeit lauten: (1) (Allgemeiner Fortsetzungssatz) Eine Abbildung /: iV^**^Jf({^) ist dann und пш* dann auf 'Ы^-^ fortsetzbar, wenn für das letzte Ghed des teristischen Kozykloides Fe** + /* ^«-i = 0 gü*- (2) (Allgemeiner satz) Zwei simpliziale Abbildungen f-^, f^: N-> К (@) sind dann imd nur dann im speziellen Sinne homotop, wenn ihre charakteristischen Kozykloiden kohomolog sind. Diese beiden Sätze Hefem die gewünschte IQassifizierung von Abbüdungen der eingangs bezeichneten Raumklassen durch Kohomologieeigenschaften.

F . W. Bauer.

Boltjanskij , V. 0.: Homotopietheorie der stetigen Abbildungen und der ¥ektor- îelder. Trady mat. Inst. Steklov. 47, 199 S. (1955) [Russisch].

Diese Arbeit kann als Lehrbuch des Teiles der algebraischen Topologie betrachtet werden, der zur Homotopietheorie in Beziehung steht. Vorkenntnisse werden im wesentlichen vom Leser nicht vorausgesetzt. Die Arbeit ist in zwei Teile geghedert. Im ersten Teil wird eine ausführhche Darstehung der Homologietheorie von simpM- zialen und Zellkomplexen gegeben, die auch die Produkttheorie der F-Homologie (Kohomologietheorie) enthält, sowie eine geometrische Darstellung der Steenrod- schen Quadrate Sq*^. Es dürfte das erste Mal sein, daß ein so wichtiges Hilfsmittel wie die Steenrod-Quadrate in einem grundlegenden Lehrbuch behandelt werden. Der zweite Teil beginnt mit einer Darstellung der Homotopiegruppen. Die Gruppe л^{8^) wird mit Hilfe des Abbildungsgrades berechnet. Die Darstellung der nistheorie wird besonders durchsichtig dadurch, daß Verf. allen den keiten, die zur Einführung der lokalen Koeffizientenbereiche sowie zu betrachtungen geführt haben, ausweicht (z. B. durch die Voraussetzung, daß alle seine Räume w-einfach sind). Die Homologie- und Homotopiegruppen der Stiefeischen Mannigfaltigkeiten werden zwar elementar, aber sehr elegant berechnet. Das gleiche gilt von der Behandlung der Stiefel-Whitney-Klassen in differenzierbaren faltigkeiten. Die letzten beiden Abschnitte befassen sich mit der Berechnimg der ^n+ii^*^) ^^d des zweiten Hindernisses mittelst der Theorie der Steenrod-Quadrate. Das Buch ist sehr geometrisch und verständlich geschrieben. Die Beweise sind fältig ausgeführt. F. W. Bauer.