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Aussagen darüber machen, daß eine Funktion w = f{z) verschwindet, wenn sie auf einer hinreichend starken Randmannigfaltigkeit gegen Null geht» Dann wiM die Holomorphie der Umkehrfunktion von w = f{z) als Spezialfall der Umkehrung eines holomorphen I4mktionensystems w^ = ФД^, - • •, 2^.), j =1,. . .,k, betrachtet, dessen Umkehrung lokal dann imd nur dann möglich ist, wenn die Jacobische minante nicht verschwindet (eine keineswegs triviale Aussage, die bekanntlich im Reellen in der einen Richtung falsch ist). Die Additionstheoreme der elHptischen Funktionen erweisen sich weiter als SpeziaKäüe aUgemeiner Sätze über algebraische Abhängigkeiten bei Funktionen mehrerer Veränderhchen. Schüeßhch werden morphe Formen bei einer komplexen Veränderhchen in den entsprechenden sammenhang für mehrere Veränderhche gestellt. F. Sommer.

Fekete , M., and J. L. Walsh : On the asymptotic behavior of polyaomials with extremal properties, and of their zeros. J. Analyse math. 4, 49—87 (1955).

Es wird eine allgemeine Norm N [A^, E], Quasi-Tchebycheff-Norm genannt, niert für die normierten Polynome A^ bezüglich einer beschränkten, abgeschlossenen, unendlichen Punktmenge E. Sie wird mit der Tchebycbeffnorm M [A^, E] = max \A^\ vergüchen, und es wird gezeigt, daß für eine Polynomfolge {A^} aus

( 1 ) ii^ pNlAJ^TiE) folgt hm \^N [A^] = hm fFl^J = r{E) und unter wissen Voraussetzungen auch Hm|/)^^(2)j = 193(2)) für jeden Punkt z des mentes К von E; dabei bedeutet r{E) den transfiniten Durchmesser von E und w = q){z) die Abbildung von К auf \w\ > r{E) mit 93(00) = 00. (1) ist gültig für die Minimalpolynome von N; deren Existenz ist gesichert, wenn die Norm stetig und monoton ist; die Stetigkeit allein ist hinreichend, wenn man sich auf diejenigen Polynome beschränkt, deren Nullstellen in E bzw. auf dem Rand von E Hegen. — Man erhält Quasi-Tchebycheff-Normen dadurch, daß man auf einer wachsenden Folge von Punktmengen Ej^ in E mit (2) lim r{Ej^) = г{Е) gewisse klassische Normen vorgibt und die fragliehe Norm auf E durch deren Grenzwert erklärt. Die Bedingung

( 2 ) läßt sich als Bedingung für die Greenschen Funktionen der Komplemente von Ej, auffassen. — Einige spezielle Betrachtungen schheßen sich an. Я. Tietz.

Krejn , M. G.: Kontinuierliche Analoga zu Sätzen über Polynome, die auf dem Einheitskreis orthogonal sind. Doklady Akad. Nauk SSSR 105, 637-640 (1955) [Russisch ]. _____

А une fonction H, vérifiant la condition de symétrie H{t) = H{—t), intégrable sur tout intervalle fini, et telle que

r r r _____

/ \(pis) \^ds + f j H{t-s) (pit) (pis) dtds>0

0 00

pour tout r > 0 et toute fonction <p continue non identiquement nuUe, ГА. attache une fonction spectrale a, puis une famille de résolvantes Г^Ц, s); il utilise celles-ci pour construire тше apphcation isométrique de L2i0,oo) dans L^ida), puis donne différentes conditions pour que cette apphcation soit sm-jective. — Ce travaü suit des recherches antérieures de l'A. La forme de certaines conditions énoncées rappelle des conditions classiques dans la théorie des polynômes orthogonaux.

G . Bcmrion.

Nassif , M., and Ragy H. Makar: On non-algebraie basic sets oî polynomials.

Nederl . Akad. Wet., Proc, Ser. A 58, 120-129 (1955).

In this paper, it is supposed that the reader is well acquainted with the notations and theory of J.-M. Whittaker's book: Sur les séries de base de polynômes conques (1949, this Zbl. 38, 228). For the sake of completeness, we shafl summarize some of them, because they are not so much familiar to us. A sequence {p^iz)} of nomials is said to be a basic set, if every polynomM admits a unique representation