§55 - Ableitungsformeln von Weingarten

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li und %2 rechtwinkliger Einheitsvektor, und schon das bringt gegenüber der Beschränkung auf die Vektoren (118) wesentliche rechnerische einfachungen mit sich. Da n aus den Vektoren (118) bestimmbar ist, ist das Problem der Bestimmung der Invarianten aus den in (118) stehenden Vektoren gleichwertig mit dem Problem der Bestimmung der ten der Vektoren

( 119 ) Ï,, Ï2, n, ï,i, ï,2, Ï22. Щ. Щ> liu. ■■-.Пи, •••

usw . bis zu beHebig hohen Ableitungsordnungen. Wir haben dann nach § 8 die Ableitungen der Grundvektoren i^, -g^ '^^^ л. also %^^, i^^ ^^^ ^за^ Щ und Пз aus %^, %2 und n selbst linear zu kombinieren. Mittels dieser Ableitungsgleichungen kann man jetzt ähnhch wie bei den Kurven leicht auch beHebig hohe Ableitungen der Grundvektoren aus diesen linear kombinieren. In den Skalarprodukten der Grundvektoren und den zienten der Linearkombinationen hat man dann nach den §§ 3 und 4 ein vollständiges Invariantensystem der Vektoren (119) gegenüber den (eigentHchen) Bewegimgen oder kongruenten Abbildungen des Raumes gefunden.

Damit erhalten wir aber noch keine absoluten Invarianten unserer Fläche. Denn einen Punkt haben wir noch ganz übersehen: Die formationen (119a) w» =/>^*, î^2*) (г = 1.2)

der Parameter, mittels derer die Fläche dargestellt wird, wo Д und /2 als wülkürhche, dreimal stetig differenzierbare Funktionen ihrer mente mit überall von Null verschiedener Funktionaldeterminante

8 { fi . f2 )

- jz—5^ vorausgesetzt werden. Wenn wir in der Darstellung % =

и , и ' I

% { u^ , u^) die u^ und u^ nach (119a) durch die м^* imd u^* ersetzen, so halten wir eine neue DarsteUung j = j*(«^^*, u^*) derselben Fläche in neuen Parametern. Invarianten der Fläche werden nur solche Ausdrücke in den Funktionen %{u^, u^) sein, deren zahlenmäßiger Wert sich bei einer Parametersubstitution nicht ändert, die sich also durch die х*(г^^*, u^*) formal genau so ausdrücken, wie durch die i{u^, u^). Wir haben also aus den mittels der Ableitxmgsgleichungen ermittelten Invarianten gegenüber den kongruenten Abbüdimgen des Raumes noch solche Kombinationen zu bilden, die auch noch parameterinvariant sind. Erst dann bekommen wir absolute Invarianten unserer Fläche. Wir wollen in diesem Kapitel nun nur den ersten Schritt, den der Bildung der Invarianten gegenüber den kongruenten Abbildungen erledigen, und die systematische Büdung von Parameterinvarianten u. a. erst im Kapitel 5 vollziehen.

Wir wollen mit der Aufstellung der Ableitungsgleichungen den Anfang machen, indem wir zunächst щ imd «2 aus %i, %2 ^^^ îi linear ren.

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