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Anfa3gsgründe der Flächentheorie

du dt

folgt , weil die Komponenten -^ und isf" von ■— und to beHebig sind.

Neben der „Produktregel" (199) gut noch die „Produktregel"

mit behebiger, stetig differenzierbarer Fimktion h = h{u\ u^), welche durch analoge Rechnung aus (195) hergeleitet werden kann ((199) und

( 200 ) sind Spezialfälle einer viel allgemeineren Produktregel, auf die wir jedoch nicht eingehen können!).

Schließlich bemerken wir, daß die kovariante Ableitung des durch Ф(о, to) = öto = g'îjî^W definierten Fundamentaltensors der Fläche der NuHtensor ist. Durch Vergleich von (195) mit (183) folgt nämlich :

^^^^^=^ ( ö . to ) + Ф ( '^ toU0fö ^U^^^^=^5to+ö^^

dt dt ^ ' ' ^ \dt ' ^^J ^ ^V' dt ) dt dt^^^^dt'

j T- ^ /^Ö \ i>Ö , ^ / -Dto\ Dît) . , ВФ, ,

d . h . wegen Ф(^, №J = ^to und ф(о, -j-) = ^ -^ ist ^(ö, to) =0 für alle i), to und damit in der Tat

D0 = ö, oder komponentenweise ausgedrückt :

( 201 ) g^j.j, = 0 (Lemma von Ricci!).

Ähnlich finden wir für den durch 0(t), to) = (ö, to, n) = SijVW mit

( 202 ) s,j=={i„i^,n) = -s^i (^-,/ = 1,2)

( ö = v%, to = w% = behebige Tangentialvektoren, n — malenvektor der Fläche) definierten, zweifach kovarianten imd ,, symmetrischen" ,,Diskriminantentensor" der Fläche: D& = 0 oder

( 203 ) s,j.^, = 0

wegen der sich durch Vergleich von (195) und (184) für aUe b, to den Beziehung

f ( » . « , ) = û.

§ 64. Ableitimgsgleichungen und Integrierbarkeitsbedingungen der Flächentheorie in Tensorschreibweise

Wir ergänzen zunächst die Ausführungen von § 63 dadurch, daß wir eine auf der Fläche definierte, stetig differenzierbare Fimktion h=^h{u^,u^) als „0-fachkovariantesundO-fachkontravariantes" feld oder „Skalarfeld'* ansehen, dessen kovariante Richtungsableitung