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Innere Geometrie einer Fläche

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Danach kehrt sich das Vorzeichen von — um, wenn man die es timg des Flächennormaleneinheitsvektors n umkehrt. Ebenso wechselt

1 : ^g sein Zeichen, weim man den positiven Sinn der Zählung der länge s umdreht, wie wir das im besonderen Fall der ebenen Kurven, für die ja nach § 37 die geodätische Krümmimg gleich der gewöhnhchen ist, ia § 12 festgestellt haben. Was dort über das Vorzeichen gesagt wurde, läßt sich sofort auf den hier vorhegenden allgemeineren Fall übertragen. Die geodätische Krümmung ist also zimächst nur bis aufs zeichen erklärt. Das Vorzeichen kann aber dadurch festgelegt werden, daß man 1. den positiven Sinn wachsender s auf der Kurve auswählt und 2. über den Sinn des Normalenvektors n entscheidet.

Nach § 34 (11) und (13)2 hängt die geodätische mit der gewöhnlichen Krümmimg zusammen durch die Formel:

( 7 ) ^=-^,

1 wo — die gewöhnhche Krümmung und Ь die Binormale unserer Kurve

ist . Wir wollen aus unseren Formeln einige Schlüsse ziehen. Zunächst

■1 gilt, weil — nur vom Streifen unserer Flächenkurve abhängt: ^s Berühren sich zwei Flächen längs einer Kurve, so hat diese auf beiden

Flächen dieselbe geodätische Krümmung.

Wenden wir femer dieses Ergebnis auf die einer Fläche längs einer

Kurve umschriebene Torse an (vgl. § 54), und beachten wir, daß —

biegungsinvariant ist, und außerdem, daß bei einer ebenen Kurve die geodätische mit der gewöhnhchen Krümmung zusammenfällt, so erhalten wir weiter :

Die geodätische Krümmung einer Flächenkurve ist gleich der,, krümmung", d.h. der gewöhnlichen Krümmung der ebenen Kurve, die man durch Abwicklung der unserer Fläche längs der Kurve umschriebenen Torse erhält.

Dieser Satz steckt natürhch auch immittelbar in den Ergebnissen des § 37 über die Abwicklung eines Streifens in die Ebene. Nach § 34 baben wir weiter :

Die geodätische Krümmung einer Flächenkurve ist gleich der lichen Krümmung ihres Normalrisses auf die Tangentialebene.

§ 78. Geodätische Linien

Nach der Formel § 37 (41) haben wir für die Variation der Bogenlänge emer zweimal stetig differenzierbaren Flächenkurve^ wenn wir wieder —