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С . Carathéodory,

Diese letzte Ungleichheit hat offenbar nur dann eine tung, wenn die Summe rechterhand konvergiert.

Definition . Eine P unktmenge u4 soll meßbar heißen, wenn für jede willkürliche Punktmenge W von endlichem äußeren Maße die Relation gilt^)

( 1 ) ^* TT = ^""ÄW+ii^iW-AW);

das Maß }iÄ von Л wird dann durch die Grleichung finiert

^Ä == }i*A.

Bemerkung 1. Wir hätten in der Definition der keit die Bestimmung, daß W von endlichem äußeren Maße sein soll, fallen lassen können, ohne an dieser Definition irgend etwas zu ändern ; ist nämlich ^i* TF = oo, so muß nach der Eigenschaft III eine der Zahlen {i^AW oder ii*(A — AW) unendlich sein, und (1) reduziert sich, dann immer auf eine Identität.

Bemerkung 2. Da das Maß iiA einer meßbaren menge nach unserer Definition nicht endlich zu sein braucht, kann man über die Meßbarkeit von Punktmengen Schlüsse ziehen, ohne untersuchen zu müssen, ob diese Mengen ein endliches äußeres Maß besitzen oder nicht.

2 . Es sei A' die Komplementärmenge von A; dann ist für jede willkürliche Punktmenge W

A'W = W-AW W-A'W = AW,

hieraus folgt unmittelbar:

Satz 1. Die Komplementärmenge einer meßbaren Punktmenge ist meßbar.

3 . Es seien A und В zwei meßbare Punktmengen, und D = AB ihr Durchschnitt.

Wegen der Meßbarkeit von А ist nach unserer Definition für jede willkürliche Punktmenge W von endlichem äußeren Maße

( 2 ) 11^ W= ß^A W+ ii'^iW-A W), und ferner ist, wenn man AW = W^ setzt,

BW , = DW W,~BW, = AW-BW.

Da nun В ebenfalls meßbar sein soll, kann man schreiben (8) ii^AW = n^ BW+ 11''{AW-BW).

1 ) Wir bezeichnen hier und im b'olgenden den Durchschnitt von zwei Punktmengen А und W durch AW.