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Paul Alexandroff,

Die im unmittelbaren Anschluß an Brouwer^) von Vietoris^) behandelten Zyhlosen^ahlen ^) einer beliebigen abgeschlossenen Menge F werden wir die Brouwerschen Zahlen von F nennen; die r-te Brouwersche Zahl von F wird durch /3*'(i^) bezeichnet.

Sodann kann man die bekannten Sätze aus dem Ideenkreis des Jordanschen Theorems folgendermaßen formulieren: Der Jordansche Satz: Wenn Ю eine ebene Jordansche Kurve oder ein Teilkomplex einer solchen Kurve ist, so ist:

( S ) р'(Е'^Ю) = f(K').

Der Brouwersche Satz von der Invarianz der senen Kurve: Wenn F eine beliebige abgeschlossene ebene Menge ist, so ist:

( N ) fiR'-F) = ß4F).

Der Jordan-Brouwersche Satz: Wenn £""^ eine im iJ"* gende n — 1-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit oder ein Teilkomplex einer solchen Mannigfaltigkeit ist, so ist:

Der Alexandersche Dualitätssatz: Wenn K^ ein im R" liegender beliebiger Я-dimensionaler Komplex ist, so ist:

( HS ) p^-'^' {R^ - K^) = / (K') (O^r^X^n).

Der Satz, den ich nun beweisen will, lautet:

Wenn F eine beliebige im E"" liegende abgeschlossene Menge ist, so ist:

( NHS ) p'^'^-'iR^-F) = ß\F),

Das wichtigste Korollar dieses Satzes ist die Erkenntnis der Tatsache, daß sämtliche Bettischen Zahlen von W--F topologische Invarianten der Menge F selbst sind. Insbesondere ist die Anzahl der zusammenhängenden Gebiete, in die F den 1С zerlegt mit der Zahl l+p\TC — F) = H-j3'*-*(F) identisch und also invariant genüber topologischen Transformationen von F^).

3 ) Vietoris, Math. Ann., 97 (1927), SS. 454—472.

4 ) Vietoris, a.a.O. S. 464, Zeilen 5—10 von oben.

5 ) Letzteren Satz habe ich auf einem anderen Wege bereits in meiner Note „Sur la décomposition de l'espace par des ensembles fermés" (Comptes Rendus Paris, 184, SS. 425—427, séance du 21 février 1927) bewiesen. Dieser Beweis behält m. Б. seine Bedeutung auch nach der in der vorliegenden Arbeit benen Verallgemeinerung des Satzes, weil er ein viel tieferes Eindringen in den ZusammenHang zwischen der Eigenschaft einer Menge, den R^ zu zerlegen und den (mit der Dimension verbundenen) gestaltlichen Eigenschaften der Menge erlaubt.