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H . Witte,

2 . Die Geschwindigkeit der Wellen ist nur eine Funktion des Abstandes vom Erdmittelpunkte und zwar eine stückweise glatte Funktion. Jede Strahlkurve besitzt einen Punkt, in dem die gente senkrecht zur Verbindungslinie zum Erdmittelpunkt steht. In Bezug auf diese Linie ist der Strahl symmetrisch. Gleichzeitig ist in diesem Punkte der Strahl dem Erdmittelpunkte am nächsten,

falls dort - <z— ist. Die Funktion v^^^ erlaubt die Berechnung

einer endlichen und (stückweise) stetigen Funktion q)(^^) = ^.~~-,

3 . Die auszuwertende Laufzeitkurve T = Т(Л) muß zierbar, also auch stetig sein, damit aus ihr die geschwindigkeit SS zu errechnen ist.

§ 5. Die Bedingungen für die Lösbarkeit der Abelscuen Integralgleichung. Die Abelsghe Integralgleichung ist nicht immer lösbar. Die Voraussetzungen für die Lösbarkeit sind uns aus den suchungen von Abel ^), Liouville ^) und Goursat ^) bekannt geworden. Eine ausführliche Darstellung findet sich bei Bocher^), man gleiche auch hierzu die Bemerkungen bei Franck und von Mises ^). Die Gleichung (9) auf S. 204 ist ein Spezialfall folgender von Abel ganz allgemein untersuchten Integralgleichung mit un-

X

/ u —1^) öi-e, in der Я eine Konstante 0 <c Я [X — ^j а

- < -Ь 1, /J^^ eine gegebene und щ^^ die gesuchte Funktion bedeuten. Die Lösungsbedingungen und Lösungen lauten: I. 1. Wenn /*(д,) im ganzen betrachteten Intervall stetig ist,

2 . Wenn /;^) an der Stelle x = a verschwindet, also /J«) = 0 ist,

X

3 . Wenn die Funktion F^^^ = / --^^b?i ^^ {^ ganzen Inter-

a vall eine stetige endliche Ableitung nach x besitzt, dann ist

sin Хж d I ,t^, T

\l - l

^'^ ж dz J {s — x)

а

die einzige stetige Lösung.

II . 1. Wenn /*(^) im ganzen Intervall stetig ist,

2 . Wenn /J^.) an der Stelle x = a verschwindet, also f^^^ = 0 ist,

3 . Wenn /Ja;) ^iiiö endliche und bis auf eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen stetige Ableitung besitzt, kann die einzige