über die Laplacesche Reihe "-^1

ist , muß sich die rechte Seite von (21) mit dem Faktor (- 1) plizieren, wenn t einen geschlossenen Umlauf um f -- 0 in der komplexen Ebene ausführt; dabei ist u{r) auf dieser rechten Seite durch (12) finiert, wird also bei diesem Umlaufe mit (- 1) multipliziert. Dagegen ändert sich J^{at) dabei nicht, Y^{at) geht über in Y^lat) - -iiJ^iat). Daraus folgt, durch direktes Ausrechnen, daß die rechte Seite von (21) bei dem Umlaufe mit dem Faktor (-1) multipliziert wird. Da ferner für t -ORjt) von höherer als der Ordnung .1 verschwmdet, so läßt sich die durch (21) definierte Funktion и it) in der Form darstellen

wo ':ß{t) eine Potenzreihe mit ganzen positiven Potenzen von t ist. mit ist aber die Identität der beiden durch (21) und (12) definierten Lösungen и von (17) bewiesen.

Um nun \JR,,{t) abzuschätzen, benützen wir neben (7) die tische Darstellung**)

( 22 ) T,{at)^y/l[Bm{t-'l) - looB{t-- l)].

Wir beginnen mit einer vorläufigen Abschätzung und bezeichnen sprechend (18) mit if; {i -2,3,...) endliche, von t und n unabhängige (Größen. Da^^)

( 23 ) P.(cos0) <1

ist , so ist nach (12) ^!^ 1; ferner ist nach (7) und (22)

( 24 ) VlJ^{at)\< i¥,; VtY,{at) -.M,. Also folgt aus (21)

( 25 ) ^u^<^ + £.M,JM,M,dr-ir^,M,JM,M,dr

7

, wobei t ^ n^ gilt. Daher ist

, 26 ) 1H<4-

Wii benutzen nun diesen verbesserten Wert von 1 и \ statt ' it ^1 zur Abschätzung von \B^{t)\ und finden

( 27 ) \RM\<^.M,M,M,M,t.

" ) Heine, Handbuch, S. 18.