Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen

12 . 1

( 7a )

( 6a ) F^{u,p)-G^{ii,p) = l,

die Beziehungen: „,...,

( ^ ) 1Д,-^<5,г1). (mod/-(1^,2)), \ -1Шгг---А:/

und hieraus ergibt sich für jede modulo f[u, z) ganze Funktion v --cp[u, z) des Ringes R{u,p) die folgende eindeutig bestimmte Darstellung:

wo allgemein

( 7b ) -y, ^î; {moàf\{u,p)),

d . h . der Wert von v in dem *-ten Kongruenzkörper Jf^w, ^) ist. Sind umgekehrt v^, ..., ■Уг behebige Elemente jener Kongruenzkörper K^, ...,K,, ^80 enthält der Ring R{u,p) ein einziges Elementjy --= v^-1^-{-...-i-Vy-U, 'welches gerade diese Werte v^ in den Körpern K^ besitzt.

Sind ferner v = [v^, ..., v.) ^- (vj, w = {w„ ..., ш.) = (w>J zwei be liebige Elemente von R{u,p) in dieser Darstellung, so folgen aus den Oleichungen (7) für ihre Summe, Differenz, Produkt und ihren Quotienten die entsprechenden Darstellungen:

( 7c ) v±w-^{v,±w^), VW {v,w^), l^{wj'

die letzte Gleichung besteht aber dann und nur dann, wenn ^ wirklich dem Ringe B{u,p) angehört, denn allein in diesem Falle sind ja alle Komponenten w, von Null verschieden.. Werden also für zwei solche Elemente (г;^ und (w;J die Verknüpfungsoperationen der Addition und Multiplikation durch die Gleichungen

definiert , so wird der Ring B{u,p) einstufig isomorph auf das System {EAu,P),'...,KA'U',P)) der V zu den Primfaktoren f[{u,p) von fiu,z) gehörigen Kongruenzkörper abgebildet.

Jedes Element v==^M des Ringes В{и,р) genügt in demselben einer Hauptgleiohung git,p)^C) vom n-ten Grade^andererseits genügt jede seiner Komponenten v, im zugehörigen Körper Z,(ît,^) emer gleichung ^.(«,^) = 0 vom A,^ten Grade, deren linke Seite irreduzibel oder die Potenz*einer irreduziblen Funktion ist, je nachdem v^ m К^{и,р) primitiv oder imprimitiv ist. Die linken Seiten jener Hauptgleicbungen hängen dann durch die Beziehung