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A , Ostrowski.

A^ { s ) zusammen. Anderecseits setzt sich auch A^ linear ganzzahlig aus

1^ , 1^^5...51._^ zusammen, da 1^> ^^ + ^ |1q[ ist. Daher ist 1^ eine lineare ganzzahHge Funktion топ Я^, 1^, ..., l|__i, w. z. b. w.

Unter den Bedingungen des ffiifesatzes 3 lassen sich alle 1^ als zahlige lineajformen dörjenigen Exponenten 1 darstellen, die Heiner als

Л — ;/lj^ -f-1^1^ j + Л1^©! +1 sûid. Das Exponentensystem 1^ von (p{s) sitzt also, wie wir sagen werden, et»e mdlicàe lineare Basis aus den Zahlen X^ séO>ëL Es sei etwa l^ das letzte Я, das < yl + \A^\ + \A,^\ + ^j^l +1 ist. l(j, 1^5 ..., 1^. brauchen natürlich nicht linear unabhängig zu sein. Ist die Anzahl der linear unabhängigen unter ihnen etwa я, so lassen sich kanntlich а solche ganzzahlige Linearformen ш^, ш^,..., со« von 1^, l^, ,.., i bilden, daß sich umgekehrt 1^, 1^, ..., 1^. und daher auch alle X^ linear ganzmhlig durch ш^, ш^, ..., ш^» ausdrücken lassen. Setzen wir nun in die Eeihe q){s) diese Ausdrücke der X. ein, so läßt sich (p{s) auch schreiben:

wo Ф ( a?^, л%, ... 5 Xa ) eine nach ganzen positiven und negativen Potenzen von ajj^, .,., X« fortschreitende Potenzreihe ist, die allerdings vorlaufig nur formal hingeschrieben werden kann, solange über die Konvergenz von ç? {s) nichts bekannt ist. — Dabei können alle Ш| positiv angenommen werden. Aus dem Hilfssatz 3 folgt insbesondere, daß unter den Exponenten X. nicht unendlich viele linear unabhängig sein können, falls (p{s) der Gle"- «hung (2) formal genügt. Um uns über die Tragweite dieses Resultates R«benöehaft m geben, betrachten wir speziell Dirichletsche Reihen vom Tfpm

Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung der natürlichen Zahlen in faktoren folgt, daß die Logarithmen sämtlicher Primzahlen linear hängig sind. Sind nun unter allen Zahlen logti, die in (5) wirklich kommen, nur endlich viele linear unabhängige, so sind von einem gewissen n an alle in (5 ) auftretenden Zahlen log» von gewissen endlich vielen men natürlicher Zdüen line« abhängig, etwa von log щ, log n^, ...^logn-. Dann enthalten aber alle in (5) wirklich auteetenden Nenner n nur soMe Primfaktoren, die in л^, я^, .. .^ »^. vorkommen. Sind also die Indizes n am von 0 verschi^enen a^ in (5) durch unendlich viele verschiedene Prim- lablen teilbar, so kann (5) sicher keiner Gleichung (2) formal genügen. Kommen aber in den in (5) wirklich aufiaretenden Nennern nur endlich viele Primzahlen fi,f^,^>^,p^ vor, so kann man (5) formal in der Form scbreiben