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besteht , die einen gemeinsamen ersten Koeffizienten a^ und lauter einfache, in E fallende Wurzeln haben.

Nunmehr wollen wir die Anzahl aller Gleichungen von der Form (1) bei Aufrechterhaltung der die Wurzeln bezüglichen Bedingungen unter einer neuen Voraussetzung betreffs des ersten Koeffizienten a^ untersuchen, indem wir ihn von nun an nicht fest vorschreiben, sondern mit dem grad n anwachsen lassen, mit der einzigen Beschränkung, daß immer

( 13 ) «0^«/^" (c^>0, ;S>1)

bestehe .

Da , wie bei festem a^, auch jetzt nur endlich viele Gleichungen mit den angegebenen Eigenschaften existieren können, deren Grad vorgeschrieben ist, 80 können wir behaupten, daß mit der Anzahl dieser Gleichungen auch deren Grad ins Unendliche wachsen muß.

Nun besteht, wie wir sahen, für irgendeine der fraglichen Gleichungen

1 * 1 (1) vom »-ten Grade die Ungleichheit cü«^ „__ bzw. dn ^-r;z:> wo dn

bzw . d* den ti-ten Durchmesser von E bzw. E* bezeichnet, also ist nach (13)

Daraus folgt, daß nur dann unendlich viele Gleichungen mit den gesetzten Eigenschaften existieren können, wenn die Beziehung

1 * 1

lira<i „ ^ , bzw. limdn^'.,

n - > X ß n->» ß

besteht .

Mit Hinsicht auf die offenbar bestehende Relation

lim dn ^ lim d*

können wir also den Satz aussprechen:

XII . Sei E eine beschränkte und abgeschlossene Punktmenge, deren symmetrischer Kern E* den transfiniten Durchmesser ö besitzt. Ist a>0, ß>l, ß'^d*<l, so gibt es nur endlich vide Gleichungen

«oa ; » + «ja:«-! + ... + a„ = 0 (a,,, a^,..., a„ ganz; a^ > 0) mit lauter einfachen, in E liegenden Wurzeln, deren höchster Koeffizient ttj, der Ungleichheit

genügt .

Dieser Satz enthält offenbar unsere Sätze X, X*, XI und kann als eine Verallgemeinerung der beiden Sätze V und XIV des Herrn Schur aufgefaßt werden ^*).

" ) A. a. 0. S. 388 und S. 398.