BoUkurven im Räume.

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dort eine gemeinsame Schmiegungsebene. Man stelle sich jetzt vor, daß auf f i und £3 von Eq aus nach derselben Sëte hin der Bogen s getragen werde. Dann gelangt man zu zwei Stellen auf ^^ und Ш^, an denen sich die gestrichelten Flächenelemente JJj und E^ befinden. Solange 8 klein genug ist und ^^,^2 ^^^ erforderlichen Stetigkeitseigenschaften besitzen, gibt es dann in der Umgebung der Identität zwei eindeutig bestimmte Bewegungen S|; und Ъе1, die E^^ in E^ oder Ж^ überführen. Wendet man nun auf einen beliebig gewählten Punkt P^ die den schiedenen s-Werten entsprechende Bewegung Ш^' an, die ab Produkt von Ъе1 und Ъ§1 eindeutig festgelegt ist, so entsteht bei variierendem 8 die Kurve

( 10 ) р={р,)ъ^шЕ:.

Sie ist die Rollkurve, die der Punkt P^ beschreibt, wenn er mit ©^ fest verbunden bleibt und ©^ auf ©.3 rollt. Ba (P) S|: = (Pq) Sf ist, so kann man auch sagen, daß P in bezug auf E^ dieselben Belativkoordinaten hat, wie Pq in bezug auf E^^. Sind f^ und t^ Bahnkurven infinitesimaler Bewegungen, also gemeine Schraubenlinien, so ergibt sich wieder der epi- zykloidische Sonderfall. Ihn werden wir nachher eingehender erörtern.

Das geeignete Instrument zur Behandlung dieser räumlichen kurven ist das begleitende Dreibein (Tangente t, Hauptnormale Ï), Binormale b, gedacht als Einheitsvektoren). Wenn durch Eq irgendein Schmiegungsstreifen © gelegt ist, so gehört zu dem gestrichelten element E, das sich auf © an der Stelle s befindet {s der Bogen E^^E) ein Dreibein t, ^, b, das stetig von s abhängt^) und zu Iq, Iq, % wird, wenn s gegen Null geht, to, Ьо, Ьо ist ein an Eq sich anschließendes bein, d. h. to fällt auf die Gerade und. ^^ in die Ebene von E^^. Sobald ein solches Dreibein to, ^o' ^o voriiegt, ist Eq orientiert. Infolge der keit sind dann auch die Elemente E auf dem Schmiegungsstreifen © tiert, eben durch das stetig sich ändernde Dreibein t,^,b.

Nun seien u,v,w die Koordinaten eines festen Punktes in bezug auf die Achsen t, Ï), 6 und X,Y,Z die Koordinaten desselben Punktes in bezug auf t^, %,bQ. Dann hängen diese beiden Koordinatentripel in der Weise zusammen: (11) ' {u,v,w)=^iX,Y,Z)ml'.

Hierdurch hat man ein Mittel in der Hand, um sich die Transformation Шв" zu verschafien, die zur Verwirklichung der Formel (10) gebraucht

^ ) © soll alle erforderlichen Stetigkeitseigenschaften besitzen, damit auch die weiter folgenden Betrachtungen ihre GtÜtigkeit haben.