über positive harmoHisehe Entwicklungen nnd typisch-reelle Potenzreihen.

Von Werner Rogosinski in Königsberg.

Die Klasse Щ der im Einheitskreise 0 ^ f < 1 konvergenten und selbst positiven harmonischen Entwicklungen

( 1 ) w(f, ç)) —1-r 2'Kcos%ç3—^„smîi<jp)r

spielt bekannthch in vielen Fragen der ebenen Potentialtheorie und tionentheorie eine hervorragende Rolle. Im Jahre 1907 hat Herr Carathéodory ^) den genauen Variabihtätsbereich der Koeffizienten «„, ß^ einer solchen Reihe

( 1 ) und damit die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für ihre Zugehörigkeit zu Щ bestimmt. An diese grundlegende Arbeit hat sich eine zahlreiche Literatur angeschlossen, so daß man heute diese Klasse ziemlich abschließend beherrscht.

Eme ähnliche Klasse S, nämlich die der im Einheitskreise 0 ^ r < 1 konvergenten und m seiner oberen Hälfte 0 < <p < л positiven harmonischen Sinusentwicklungen

( 2 ) v(r,(p) = 2]a^smn(pr'^; a^ = l,

macht den Hauptgegenstand der vorliegenden Untersuchung aus. Diese Klasse scheint bisher noch nicht behandelt worden zu sein, obschon auch sie, wie das Ergebnis dieser Arbeit zeigen dürfte, von bum geringerer Allgemeinbedeutung als die Klasse f ist. Im übrigen läßt sie sich durch

" ) 0. Carathéodory, Über den VariabiHtätsbereicb der Koeffizienten von Potenz- reihen, die gegebene Werte nicht annehmen, Math. Ännalen 64 (1907), S. 95—115; tber den Variabilitàtsberâch der Fonriarschen Konstanten von positive» Ьагшо- nisehen Funktionen, Palermo Eend. 32 (1911), S, 19S-217. Im übrigen v#. I, § 1 der voriiegen<Jen Arbeit, wo der Carath^)dorysche Hanptsatz formuliert ist.