Polares F^-Gebüsch einer liaearen Strahlenkongruenz, 49

gleichseitigen Paraboloide ^F'^, ^F^ und je eins der beiden rotatorischen und das für ihn autopolare scheitelrechte Antidurchmesserhyperboloid.

6 . Die einen gegebenen Strahl s einer linearen Strahlenkongruenz Cl rechtwinkhg kreuzenden Kongruenzstrahlen bilden eine durch den lich fernen Kongruenzstrahl c^ gehende paraboloidische Eegelschar zweiter Ordnung @^. Die Strahlen der Regelschar ©^ sind elliptisch involutorisch gepaart, wenn in @^ jedem Strahle x der ihn rechtwinklig kreuzende y zugeordnet wird. Durch jedes Tripel einander rechtwinklig kreuzender Strahlen s,x,y geht ein einscharig in G^ enthaltenes gleichseitiges boloid. Es wird zu einem gleichseitigen Paraboloide, wenn x oder y mit dem unendlich fernen Kongruenzstrahle c^ zusammenfällt. Hiernach gibt es also oo^ einscharig in Cl enthaltene durch einen gegebenen strahl s gehende gleichseitige Hyperboloide und ein einscharig in Gl haltenes durch s gehendes gleichseitiges Paraboloid.

Wir greifen aus diesen oo^ einscharig in Gl enthaltenen Flächen zweiter Ordnung zwei — etwa A^, B^ — heraus. Der sie verbindende jP^-Büschel besteht aus lauter einscharig in Gl enthaltenen Flächen zweiter Ordnung^^). Seine Flächen schneiden jede Regelschar zweiter nung von Gl, insbesondere die eben konstruierte paraboloidische schar ©'^, in den Strahlenpaaren einer Involution ^*). Die lution enthält die bzw. auf den Flächen A^, B^ gelegenen Paare einander rechtwinklig kreuzender Strahlen der Regelschar (g'*^ und folglich alle Paare der von den einander rechtwinklig kreuzenden Strahlen von©^ gebüdeten elliptisch involutorischen paraboloidischen Regelschar. Sonach ist jede Fläche des die Flächen Ä^, B^ verbindenden .F^-Büschels ein gleichseitiges boloid und nur die den Kongruenzstrahl c^ enthaltende ein, als ein seitiges Hyperboloid geltendes gleichseitiges Paraboloid. Die oo^ durch einen gegebenen Kongruenzstrahl 5 gehenden einscharig in Gl enthaltenen seitigen Hyperboloide und das einscharig in Gl enthaltene durch s gehende gleichseitige Paraboloid bilden also einen Büschel gleichseitiger Regelflächen zweiter Ordnung. Seine Basiskurve besteht aus den beiden (reellen oder konjugiert imaginären) Leitgeraden u, v von Gl und außer s noch aus einem zweiten Kongruenzstrahle t.

Ebenso liegt ein zweiter Kongruenzstrahl t' in den durch einen weiteren Kongruenzstrahl s' gehenden 00^ einscharig in Gl enthaltenen seitigen Hyperboloiden und dem durch a' gehenden gleichseitigen boloide. Und diese Flächen bilden zusammen wiederum einen Büschel seitiger Regelflächen zweiter Ordnung. Beide #^-Büschel haben die das Strahlenquadrupel s, t, s\f verbindende gleichseitige Regelfläche zweiter

^ * ) Die unter ^) angeführte Abhandlung, Nr. 1. Mathematische Zeitschrift. 36.

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