Stabilität im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizität. 715

geben , daß die Ungleichung (11) immer erfüllt wird, sobald t, x und y den Bedi7igungen

( 20 ) О^^^г, xeWbf

und (12) genügen.

Beweis . Es sei x ein beliebiger Punkt der Menge Orbf; x^,x^,... eine gegen x konvergierende Folge, deren Elemente Punkte von Orbf sind:

x'^fit . ) (г =1,2,...)'

Ist (p^x für irgendeinen Wert von t sinnvoll, so ist — wegen (8) und ® III ^~

lim f(l. + 0 == liöi a?,a;*== w.x.

Daraus folgt, daß (sobald f^^it) existiert)

ist^^an hat also: Orb ^^C 6rb7u.nd demnach Örb^ С Orb f. Nun ist Örb f laut Voraussetzung eine beschränkte Teilmenge von ö. Also ist auch Orb 4^ eine solche, und die Bewegung f^^ ist beiderseits stabil. Daraus folgt — nach dem KoroUar aus dem Hilfssatze II —, daß fQ^(t), d. h. <p^x für jeden Wert von t und jeden Punkt x 6 Orbf sinnvoll ist.

Somit ist der Hilfssatz I auf J' = Örb f und behebige Zahlen rj > 0, Z ^ 0 anwendbar. Ihre Anwendung liefert aber gerade die Behauptung des Hilfssatzes III.

Den soeben bewiesenen Hilfssatz III findet man auch in der oben zitierten Arbeit von Ph. Franklin ^^).

Der hier angeführte Beweis ist aber vom Franklinschen wesentlich verschieden. Wir stützen uns nämlich nur auf die drei schaften der Bewegungen (£1, ®II und @III, während bei Franklin die Lipschitzschen Bedingungen für X^,.,., X^ direkt benutzt werden.

§2 . Ein HШssatz.

1 . Definition IV. Es sei m eine natürliche Zahl. Wir werden sagen, daß die Zahlenmenge A die Eigenschaft â^^ besitzt, wenn für jede m 4-1-gliôdrige Zahlenfolge

( 21 ) t^^..., t^j^i

^6 ) Loo. cit. % S. 826--S27.