über zweidimensionale Finslersche Eäame.

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so ergibt sich für die linke Seite von (6)

3 :

{ X - - - - 2 ) ^

Somit ergibt sich die komplexe Gleichung bzw. das Gleichungspaar

( 7 ) Z-Z-b = Za;

somit stellt ^z^da + zdb ein voUständiges Differential dar oder genauer ein Paar vollständiger Differentiale. Durch Subtraktion des vollständigen Differentials d{laz^-^-bz) folgt, daß {az + b)dz auch ein Paar ständiger Differentiale darstellt. Nun ist ax^-\-b = y^. Setzen wir y^Jriv ~ az + Ъ = w, so folgt au^ der ümkehrung des Cauchyschea Satzes, daß w eine analytische Funlition von z sein muß:

y^Jri'o =- f{Xo + iu).

Es bestehen somit die Gleichungen

m\ 1^ 4- _^ — л I «^а:о «^a;o I ^ 1

d . h. das Vektorfeld u^ и{х^„у^), v = v(x^^, y^) ist quellenfrei und die diesen Gleichungen entsprechende Abbildung ist flächentreu. Für unsere Geometrie hat dieses Vektorfeld folgende Bedeutung. Denken wir uns den Punkt Po mit seinen Koordinaten x^, у о auf jeder Geraden als punkt der Skala für die natürliche Maßbestinimung und sei Pj derjenige Punkt, für den das natürliche Maß

von PqP^ = X i^*' ^^^"^ ^^* ^0 Рг der Vektor mit den Komponenten и und V. Denkt man sich das feld gezeichnet, so ergibt sich die Maßbestimmung auf jeder Geraden durch die in der Figur dargestellte Konstruktion. Wir erhalten für die natürliche Maßbestimmung einer Streckens den Winkel ^/S 5. Eine

notwendige Bedingung dafür, daß jeder Geraden der ganzen Ebene eine Maßbestimmung zugeordnet wird, ist die, daß das analytische Gebilde w = f{z) keinen reellen Punkt enthält, da dann für u^v^R = 0 Pq und Pj zusammenfallen würden.

Das starke Monodromieaxiom, d. h. die Forderung AB ~ ВЛ würde bedingen, daß zu jedem Wertepaar {x^ + in), (y^ + iv) des analytischen Gebildes auch ein Wertepaar (x^ - iu), (y^-iv) gehört Dies gut auch insbesondere Ш и ^ Q. Wenn man ferner entsprechend der soeben ge-