524

I . Sauter.

so aneinandergefügt, daß ihre Summe 35 im Ansatzpunkt F eine Tangente besitzt, so ist F dann von zweiter Ordnung, wenn diese Tangente Ъ nicht schneidet, sondern stützt. Wir können uns daher sogleich dem eigenthchen Induktionsschluß zuwenden.

Es ist uns im R^ {n ^ 3) eine Bogensumme © gegeben von der Art, wie sie unser Kriterium fordert: S ist die Summe der beiden Bogen e und Î) von ^-ter Ordnung; im Ansatzpunkt F stimmen v. nnd h. I\ an Ш überein im h = l, ,,.,n. Zu zeigen ist, daß F auf ф die nung n besitzt.

Wir projizieren Ж von F aus zentral auf eine F nicht enthaltende Hyperebene Rn-i- Das Projektionsbild S von Ж setzt sich zusammen aus den Bogen £ und Ъ, den Bildern von £ und S, die nach Nr. 2,7 beide die Ordnung {n — 1) besitzen. Im Ansatzpunkt F stimmen nach Kr, 1,4 11,4 V. und h. Thj, an Ж überein für ä; — 1, ..., ^ — 1. Daher genügt В in Rn-i den Bedingungen unseres Kriteriums. Da dieses im Rn-i als Grundraum nach Induktionsannahme richtig ist, hat der punkt 7" auf Ж die Ordnung (^ — 1). Es kann also auf 35 um den Punkt -F eine Umgebung U abgegrenzt werden, deren Bild U von (^ _ l)-ter Ordnung ist, deren Projektionsgeraden also einen Kegelmantel K(F,Vi) ^on (n—l)-ter Ordnung ergeben. Der Kegelmantel jK^(f,U) ist schlicht-projizierend. In der Tat: U besitzt als Bogen {n — l)-ter nung keinen mehrfachen Punkt. Nun ist aber U identisch mit dem meterbogen Й*, der als Bild dem Parameterbogen U entspricht. Dies ergibt sich aus der Tatsache, daß erstens niemals Teilbogen der selben einseitigen Umgebung von F auf U* sich überlagern können (— die mäntel J5L(i?,{r) und Z(i?,3)) sind schlicht-projizierend, weil G und Ъ beide von ^-ter Ordnung) und daß auch niemals eine vordere und eine hintere Umgebung von F auf ÎÏ* sich decken können (—■ es sind ja v. und h. Thf an H identisch). Somit ist der Parameterbogen U* einfach, woraus die Behauptung folgt.

Der weitere Beweis hat den folgenden Grundgedanken: Aus der Tatsache, daß U die Ordnung (n—l) hat, kann wegen der Schlichtheit des Projektionskegelmantels К^^рЛ) gefolgert werden, daß jede mit F inzidierende Hyperebene nur so viele Punkte mit U gemeinsam haben kann, als der Ordnung n von U entsprechen würde. Um aber daraus auch für irgendwelche nicht mit F inzidierende Hyperebenen dasselbe Verhalten abzuleiten, werden monotone Änderungen von Hyperebenen gemäß dem speziellen Monotoniesatz ^^) benutzt. Daß dieser Satz in unserem Falle anwendbar ist, soll zunächst in Abschnitt 3,3 dargelegt

^4 ) Haupt (2), Жг. 3, 2.