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I . Sauter.

des zu beweisenden Satzes: S* ist die Summe der Bogen K* und J)* von (n — l)-ter Ordnung, welche beide der Fremdheitsbedingung genügen, wie aus der Fremdheitsbedingung von G und Ъ folgt; ferner herrscht in den Punkten ^* und F^ Glattheit (siehe Nr. 1,4 1,1 und 1,4 11,2). Somit besitzt Ж* die Ordnung {n — 1), was für ffi das Erfülltsein der Projektionsbedingung bedeutet.

b ) Windungsbedingung: Man wendet Projektion aus F in eine ebene Rn-i an. Genau wie $8* genügt auch das Bild Ж den setzungen unseres Satzes, besitzt also ebenfalls^die Ordnung (n — 1). Im (gewöhnHch differenzierbaren) Punkte F von Ж ist somit die bedingung der Bogen {n — l)-ter Ordnung erfüllt, woraus nach Nr. 1,4 11,3 auch für F auf S das Erfülltsein der Windungsbedingung folgt.

Nach dem Anfügungssatz Nr. 3,5 besitzt also die Bogensumme S in der Tat die Ordnung n.

Erweiterimgssatz .

4 , 1 . Mit dem Anfügungssatz haben wir uns die Grundlagen für den Beweis des Erweiterungssatzes erworben.

Erweiterungssatz : Jeder Bogen $8 von n-ter Ordnung im frojeh tiven R^ läßt sich stets ordnungsinvariant, insbesondere zu einer Kurve weitern, falls nur die Fremdheitsbedingung (siehe Nr. 3, 6) erfüllt ist, d. к falls für jedes k= 0,1, ...,n—1 jeweils d&r Tangentialschmiegraum Tf im Anfangsfunkt А fremd ist zum Tangentialschmiegraum Т^-ос^г) ii^ Endpunkt E.

Wk führen den Beweis des Satzes konstruktiv. Zum gegebenen Bogen S, dessen Tangentialschmiegräume in Anfangs- und Endpunkt die genannte Fremdheitsbedingung erfüllen, konstruieren wir einen zweiten Bogen Ж* ebenfalls von n-tei Ordnung, der den Bogen Ж so zu einer geschlossenen Kurve (£ vervollständigt, daß für diese Bogensumme E = 93 -j- S* der Anfügungssatz in der besonderen Form 3, 6 gilt. £ ist also eine Kurve von n-tei Ordnung, die S als Teilbogen enthält, — der Erweiterungssatz ist damit bewiesen.

4 , 3 . Für die Zwecke der angekündigten Konstruktion ist es wendig, zunächst die Fremdheitsbedingung in anderer Weise auszudrücken. Wir benutzen hierbei die zwei folgenden Sätze:

I . Sind zwei Räume Rjc^ und Rk^ zueinander fremd, dann hat ihr Verbindungsraum, d.h. der lineare Raum niedrigster Dimension, der R^^ und Rk^ enthält, die Dimension v = \'\-k^-\- 1, und umgekehrt.

II . Haben zwei Räume R^^ und Rjc^ genau einen Punkt gemeinsam, dann hat ihr Verbindungsraum die Dimension v = kj + k^ xmà umgekehrt