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W . КгиП.

wollen wir 3 = 3p voraussetzen, denn aus тппЗр = р-Зр folgt immer mr^3 == p. Nach dem Hilfssatz 3 wird (p'Ш)глЯ = p^ =: ^^ ^ ^ also p • Ш sicher von Ш verschieden, und es gibt daher auch in Ш щЬ. destens ein (von Ш verschiedenes!) Primoberideal p von p -SOî. Für p folgt aus der Beziehung p ç (pr^Ä) с 3 sofort p =. p r^, я, da ja p wegen der zulässigen^Voraussetzung 3 = 3p in 3 maximal ist. Nach 2. ist ferner Щ = 35* Bewertungsring in Ä mit dem maximalen Primideal m = p. %. Setzen wir Ж = Ш* гл Ä, m = fn r^ Я, so ist Ж ring, m maximales Primideal in S, und es wird

шглЗ = тпглЗ===т/-^5Ш^З = рглЗ====р. ^ Satz 24 ist noch einer leichten Verallgemeinerung fähig. Ist а ein liebiges ganzes Ideal, so verstehen wir unter dem ,,1ШИсаГ r von а die Menge aller der Körperelemente a, von denen eine Potenz in а liegt. Ist а = r enthält also а selbst mit a^ stets auch a, so soïï a kurz „Radikar nannt werden. Ein (ganzes) Ideal r ist dann und nur dann Radikal wenn es Durchschnitt von (endhch oder unendüch vielen) Primidealen ist 23); das Eadikal von a ist gleich dem Durchschnitt aller Primoberideale von a.

Satz 25. Jedes Eadikal r ist b-Ideal: r = r, = r^; a, a, und a, haben stets dasselbe Radikal.

Zum Beweis hat man nur zu bedenken: Ist p irgendein ideal von a, so ist p = p, 3 aa, V^Pb^ a^. Als wichtige Anwendung von Satz 25 sei hervorgehoben:

Satz 26. Ist ein ^-Ideal a aus R nicht im gewöhnlichen Sinne kehrbar, ist also a^a-^ ^ 3, so ist a auch nicht ,,a-umkehrbar- oder ,fi-umkehrbar% d. h, so ist stets auch (a-a-^)« + 3 und {a-a-^)^ 4= 3.

Ist nämhch a-a-i von 3 verschieden, so ist es aach das Radikafr von a-a-i^^). - Satz 26 zeigt, daß die Verhältnisse bei der a- und der 6-Operation ganz anders Hegen als bei der Artin-van der Waerdenschen „t;-Operation", deren Bedeutung vor allem darauf beruht, daß das System £, aller ^-Ideale hinsichtlich der ^-Multiplikation in sehr vielen und wichtigen РаПеп eine Gruppe bildet, in denen von der Umkehrbarkeit aller gewöhnHchen endlichen Ideale nicht die Eede ist (vgl. die bemerkung von 9.).

9 . Einige Bemerkungen über г;-Иеа1е.

Ein Ideal q, das zu einem anderen Ideal а reziprok ist, q = a-\ möge für den Augenblick kurz „Quotienr genannt werden.

23 ) Vgl. die in Anm. Ю) zitierte Arbeit oder auch den Bericht (3., S. 9). ^*) Anderer Beweis in den „Teübarkeitseigenschaften" (§6, S. 18).