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В . V. Sz. Nagy.

hohe Lebesguesche Integral, es gelten insbesondere die charakteristischen Konvergenzsätze (Sätze von Lebesgue und von B. Levi).

Ein solches Mengensystem о hat immer Untersysteme, welche mit imgeänderter Definition der Funktion (л (m) die gleichen eigenschaften wie a haben. Ein solches Untersystem a wollen wir lässig heißen. In unserem obigen Beispiel ist a durch alle Lebesgue- meßbaren Teilmengen von (0, 1) gebildet, während g nur diejenigen zu о gehörigen Mengen umfaßt, für deren charakteristische Funktionen die genannte Äquivalenz gilt.

Das Eunktionensystem {q,q^ 4,nns, sin éjrwsj ist ein einfaches spiel für ein ,,in sich abgeschlossenes" Eunktionensystem. Ein solches Eunktionensystem ist immer auf einem zulässigen Untersystem des Systems aller ursprünglich meßbaren Mengen vollständig.

§1 - Begriff der Abgescblossenheit in sich.

Sei Ш eine Lebesgue-meßbare, oder allgemeiner eine behebige solche Menge, auf welcher ein abstrakter Maßbegriff und mittels dessen ein Maß- Integral definiert ist. Es sei ein System [ip] von auf Ш definierten reellwertigen beschränkten Funktionen y) gegeben, die sämtlich auf 9Л meßbar und quadratisch integrierbor sind. Wir bezeichnen mit £ die Gesamtheit derjem'gen meßbaren, quadratisch integrierbaren Funktionen, welche durch geeignete (mit reellen Koeffizienten gebildete) Linearkompositionen der yj im Quadratintegral-Mittel beliebig genau approximiert werden können. Aus der Minkowskischen Dreiecksungleichung folgt, daß jede solche tion, welche durch Linearkompositionen zu £ gehöriger Funktionen im Quadratintegral-Mittel beliebig genau approximierbar ist, ebenfalls zu £ gehört.

Die Produkte von je zwei (nicht notwendig voneinander verschiedenen) im System {y)] enthaltenen Funktionen sind offenbar meßbar und (wegen der Beschränktheit der yj) auch quadratisch integrierbar, sie gehören aber im allgemeinen nicht zu £. Hat aber das System {yj] außer den schon aufgezählten noch die Eigenschaft, daß alle diese ProduJäe zu £ gehören, so werden wir es in sich abgeschlossen nennen'^).

1 ) A. Haar hat scKon. in einer Arbeit [Über die Multiplikationstabelle der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Zeitschr. 31 (1930), S. 769 — 798] in sich abgeschlossene Funktionensysteme (von anderem Gesichtspunkt aus) behandelt. Die Haarsche Definition dieses Begriffs ist aber spezieller, als die unsere, da Haar noch fordert, daß auch die Funktion 1 (in unserer Bezeichnung) zu £ gehört.